大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 24 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 24 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 100 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；5 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 7 kgF = 100 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 26 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0.25k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 10 m/sv_out = 6 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 150 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 150 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 7 m。截面 1 处压强为 200 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

310 g Ar在 450 kPa 和 15 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 310 gM = 39.95 g/molP = 450 kPaT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 200 kPa、2 L、10 °C 变化到 650 kPa 和 80 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 10 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 80 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 350 °C 的热源吸热，向 35 °C 的环境放热。其实际热效率为 35%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 350 °CT_L = 35 °Cη = 35%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 30 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -20 °C，以 4 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 30 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 4 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.8 m。声速为 343 m/s。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 343 m/sn = 4L = 0.8 m

f₄ = Hz

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 40 cm：透镜 1 的 f₁ = 20 cm，透镜 2 的 f₂ = −20 cm。一个物体位于透镜 1 前 15 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 20 cmf₂ = −20 cms = 40 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 8 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·24/6 = 8 s

答案

t = 8 s

此时警车的速度为 2v = 48 m/s。

2.运动学

答案: d = 46.1 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1098))/(2·4.905) = 3.066 s

深度

d = ½·9.81·3.066² = 46.1 m

答案

d = 46.1 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答案

a = 2.433 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 41.67 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (100 − 23.54)/12 = 6.371 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(6.371 + 1.962) = 41.67 N

答案

T = 41.67 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 64.75 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 55° = 14.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 55° = 21.3 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·21.3/9.81 = 4.342 s

水平距离

x = v_x·t = 14.91·4.342 = 64.75 m

答案

x = 64.75 m

6.抛体运动

答案: x = 51.95 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 55° = 10.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 55° = 14.74 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 14.74·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.74 + √(217.4 + 981))/9.81 = 5.032 s

水平距离

x = v_x·t = 10.32·5.032 = 51.95 m

答案

x = 51.95 m

7.功和能

答案: h = 0.7339 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·2000·0.06² = 3.6 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 3.6/4.905 = 0.7339 m

答案

h = 0.7339 m

8.功和能

答案: v = 8.578 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.25·5) = 36.79 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.75) = 8.578 m/s

答案

v = 8.578 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 5)/(3 + 5)·8 = −2 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 5)·8 = 6 m/s

答案

v′₂ = 6 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 960 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(6 + 10) = 9.6 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.6/0.01 = 960 N

答案

F_avg = 960 N

11.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN

12.静水压力

答案: F = 22.07 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1.5 = 22.07 kN

答案

F = 22.07 kN

13.连续性和伯努利

答案: v = 15.81 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·150/1.2) = 15.81 m/s

答案

v = 15.81 m/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 102.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(75/40)² = 7.91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 7.91²)/1000 = −28.75 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−28.75) − 68.67 = 102.6 kPa

答案

p₂ = 102.6 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 41.31 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 310/39.95 = 7.76 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

体积

V = nRT/P = 7.76·8.314·288.1/450 = 41.31 L

答案

V = 41.31 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 0.7675 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 283.1 K, T₂ = 353.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/650)·(353.1/283.1) = 0.7675 L

答案

V₂ = 0.7675 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 69.24 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 308.1/623.1 = 50.55 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 35/50.55 = 69.24 %

答案

η_II = 69.24 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.79 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(303.1 − 253.1) = 5.063

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4/5.063 = 0.79 kW

答案

Ẇ_min = 0.79 kW

19.波、声与光学

答案: f₄ = 857.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.8/4 = 0.4 m

频率

f = v/λ = 343/0.4 = 857.5 Hz

答案

f₄ = 857.5 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i2 = −16.67 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/20 − 1/15 → d_i1 = −60 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 40 − (−60) = 100 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/100 → d_i2 = −16.67 cm

答案

d_i2 = −16.67 cm

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