大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 50 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 60 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 60 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 11 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 11 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.25d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 15 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 15 Nθ = 25°μ = 0.15d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 34 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。11 kg 的碎片以 61 m/s 继续向前运动。求 3 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 34 m/sm₁ = 11 kgv′₁ = 61 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1700 kg 的汽车撞上一辆停放的 1800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 12.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1700 kgm₂ = 1800 kgd = 12.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 20 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 190 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 190 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 180 g He，温度为 85 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 180 gM = 4.003 g/molV = 5 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 100 kPa、5 L、10 °C 变化到 150 kPa 和 110 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 100 kPaV₁ = 5 LT₁ = 10 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 200 °C 的热源吸收 2600 kJ 热量，放出 1776 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 200 °CQ_H = 2600 kJQ_L = 1776 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 500 °C 的热源吸收 70 kW 热量，并向 27 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -5 °C 的冷冻室排出热量，也向 27 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 500 °CT₀ = 27 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 70 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一个高 1.5 cm 的物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 10 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 1.5 cmd_o = 10 cmf = 5 cm

h_i = cm

20.波、声与光学困难

一个衍射光栅每毫米有 1200 条刻线。波长为 589 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 m_max？

N = 1200 mm⁻¹λ = 589 nm

m_max =

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.315 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/6 = 2.315 s

答案

t = 2.315 s

2.运动学

答案: y = 26.62 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

60 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 60/23 = 2.609 s

相遇高度

y = 23·2.609 − ½·9.81·2.609² = 26.62 m

答案

y = 26.62 m

3.牛顿定律

答案: F = 176.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 112.5 + 64.29 = 176.8 N

答案

F = 176.8 N

4.牛顿定律

答案: a = 3.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 5.886)/4 = 3.433 m/s²

答案

a = 3.433 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 79.96 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 25° = 29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 25° = 13.52 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·13.52/9.81 = 2.757 s

水平距离

x = v_x·t = 29·2.757 = 79.96 m

答案

x = 79.96 m

6.抛体运动

答案: H = 57.55 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 11·sin 40° = 7.071 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 7.071²/(2·9.81) = 2.548 m

离地面的高度

H = 55 + 2.548 = 57.55 m

答案

H = 57.55 m

7.功和能

答案: W_f = 93.94 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N

F = μN = 0.25·37.57 = 9.394 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 9.394·10 = 93.94 J

答案

W_f = 93.94 J

8.功和能

答案: v = 5.319 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 8.292 N

μ·mg·cos θ = 2.667 N

功–能关系

½mv² = (15 − 10.96)·7 = 28.29 J

v = √(2·28.29/2) = 5.319 m/s

答案

v = 5.319 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −65 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 14·34 = 476 kg·m/s

碰撞后的动量

476 = 11·61 + 3·v′₂

v′₂ = (476 − 671)/3 = −65 m/s

答案

v′₂ = −65 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 28.84 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·12.5) = 14.01 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·14.01/1700 = 28.84 m/s

答案

v₁ = 28.84 m/s

(103.8 km/h)

11.静水压力

答案: F = 104.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·2.25 = 104.8 kN

答案

F = 104.8 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.333 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·3 = 66.22 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.5625/(2.25·3) = 2.333 m

答案

y_cp = 2.333 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 6.325 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·20000/1000) = 6.325 m/s

答案

v = 6.325 m/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 179.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/75)² = 0.8889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 0.8889²)/1000 = −0.2701 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−0.2701) − 9.81 = 179.9 kPa

答案

p₂ = 179.9 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 26779 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 180/4.003 = 44.97 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

压强

P = nRT/V = 44.97·8.314·358.1/0.005 = 26779 kPa

答案

P = 26779 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 4.511 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 283.1 K, T₂ = 383.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(100/150)·(383.1/283.1) = 4.511 L

答案

V₂ = 4.511 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 50.05 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 200 + 273.15 = 473.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 473.1·1776/2600 = 323.2 K = 50.05 °C

答案

T_L = 50.05 °C

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 358.9 kW

绝对温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

热机的功

η = 1 − 300.1/773.1 = 0.6118

Ẇ = 0.6118·70 = 42.82 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 268.1/(300.1 − 268.1) = 8.38

Q̇_L = 8.38·42.82 = 358.9 kW

答案

Q̇_L = 358.9 kW

19.波、声与光学

答案: h_i = −1.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/10

d_i = 10 cm

放大率与像高

m = −10/10 = −1

h_i = −1·1.5 = −1.5 cm

答案

h_i = −1.5 cm

20.波、声与光学

答案: m_max = 1

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 0.8333 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 0.8333 µm/0.589 µm = 1.415 → m_max = 1

答案

m_max = 1

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