大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 260 km/h 的速度，可用跑道长 1100 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1100 m

a = m/s²

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 4 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 2 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 4 m/sd = 2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 12 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 5 m/s 水平运动的 6 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 54 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 6 kgu = 5 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 54 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 0.5 m 的轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2.5 kgL = 0.5 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 150 mm，喉部直径 100 mm。入口处的压强比喉部高 10 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 10 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 50 kPa。喷嘴出口直径为 30 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 50 kPa (表压)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 260 g Ar，温度为 45 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 260 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CO₂在 300 kPa 和 50 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 300 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 775 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。它吸收 2700 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 775 °CT_L = 30 °CQ_H = 2700 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 900 °C 的热源吸收 50 kW 热量，并向 27 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -10 °C 的冷冻室排出热量，也向 27 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 900 °CT₀ = 27 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 50 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 10 m 处的声级为 95 dB。忽略吸收和反射，求 80 m 处的声级 β₂。

β₁ = 95 dBr₁ = 10 mr₂ = 80 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.47。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.5n₂ = 1.47

NA =

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.371 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·1100) = 2.371 m/s²

答案

a = 2.371 m/s²

2.运动学

答案: d = 30.9 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 891.8 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·891.8))/(2·4.905) = 2.51 s

深度

d = ½·9.81·2.51² = 30.9 m

答案

d = 30.9 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.4077

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·2) = 4 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4/9.81 = 0.4077

答案

μ = 0.4077

4.牛顿定律

答案: a = 5.255 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 7.357)/7 = 5.255 m/s²

答案

a = 5.255 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 14.46 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 40° = 9.193 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 40° = 7.713 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·7.713/9.81 = 1.573 s

水平距离

x = v_x·t = 9.193·1.573 = 14.46 m

答案

x = 14.46 m

6.抛体运动

答案: t = 5.707 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18.35 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 18.35·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.35 + √(336.9 + 1079))/9.81 = 5.707 s

答案

t = 5.707 s

7.功和能

答案: h = 3.262 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 6.4/1.962 = 3.262 m

答案

h = 3.262 m

8.功和能

答案: v = 9.654 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(5 − 0.25·1) = 116.5 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.75) = 9.654 m/s

答案

v = 9.654 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −93 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 6·5 = 30 kg·m/s

碰撞后的动量

30 = 4·54 + 2·v′₂

v′₂ = (30 − 216)/2 = −93 m/s

答案

v′₂ = −93 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v = 48.64 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 10°) = 0.007596 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.007596) = 0.3861 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.52·0.3861/0.02 = 48.64 m/s

答案

v = 48.64 m/s

11.静水压力

答案: F = 67.44 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.5 = 67.44 kN

答案

F = 67.44 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.41 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.25·7.5 = 301.3 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 3.906/(3.25·7.5) = 3.41 m

答案

y_cp = 3.41 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 39.21 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(100/150)² = 0.4444·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·10000/(1000·(1 − 0.1975))) = 4.992 m/s

v₁ = 2.219 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.007854·4.992 = 0.03921 m³/s = 39.21 L/s

答案

Q = 39.21 L/s

14.连续性和伯努利

答案: H = 5.231 m

出口流速

β = 30/75 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9744)) = 10.13 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 10.13²/(2·9.81) = 5.231 m

答案

H = 5.231 m

15.理想气体定律

答案: P = 573.8 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 260/39.95 = 6.508 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

压强

P = nRT/V = 6.508·8.314·318.1/0.03 = 573.8 kPa

答案

P = 573.8 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 4.914 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 300·44.01/(8.314·323.1) = 4.914 kg/m³

答案

ρ = 4.914 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1919 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/1048 = 71.08 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.7108·2700 = 1919 kJ

答案

W_max = 1919 kJ

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 264.6 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

热机的功

η = 1 − 300.1/1173 = 0.7442

Ẇ = 0.7442·50 = 37.21 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 263.1/(300.1 − 263.1) = 7.112

Q̇_L = 7.112·37.21 = 264.6 kW

答案

Q̇_L = 264.6 kW

19.波、声与光学

答案: β₂ = 76.94 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (10/80)² = 0.01563

新的声级

β₂ = 95 + 10·log₁₀(0.01563) = 76.94 dB

答案

β₂ = 76.94 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: NA = 0.2985

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.47/1.5 = 0.98 → θc = 78.52°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.47²) = 0.2985

答案

NA = 0.2985

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