大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1.3 sa = −4 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 13 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 13 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

质量为 9 kg 和 5.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 38 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 100 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 100 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 19 m/sv_out = 9 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 20 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 4.5 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 20 mmh = 4.5 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 80 kPa。水从水面以下 4.5 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 80 kPa (表压)h = 4.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 330 g CH₄，温度为 70 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 330 gM = 16.04 g/molV = 20 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求O₂在 1000 kPa 和 190 °C 下的密度 ρ。

M = 32 g/molP = 1000 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 375 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。它吸收 4600 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 375 °CT_L = 5 °CQ_H = 4600 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 1050 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 35 °C 的热源放热。两台热机产生的功相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 1050 °CT_L = 35 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 1 m 处的声级为 95 dB。忽略吸收和反射，求 3 m 处的声级 β₂。

β₁ = 95 dBr₁ = 1 mr₂ = 3 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 50 cm 的凹面镜前 10 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 10 cmR = 50 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 42.17 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.3 = 18.06 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4) = 24.11 m

合计

d = 18.06 + 24.11 = 42.17 m

答案

d = 42.17 m

2.运动学

答案: s = 478.1 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·9 = 22.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·9² = 101.3 m

s₂ = 22.5·13 = 292.5 m

s₃ = 22.5²/(2·3) = 84.38 m

总距离

s = 101.3 + 292.5 + 84.38 = 478.1 m

答案

s = 478.1 m

3.牛顿定律

答案: T = 66.98 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (9 − 5.5)·9.81/(9 + 5.5) = 2.368 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 5.5·(9.81 + 2.368) = 66.98 N

答案

T = 66.98 N

4.牛顿定律

答案: T = 39.42 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 22.07)/14 = 1.927 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·1.927 + 22.07 = 39.42 N

答案

T = 39.42 N

5.抛体运动

答案: H = 60.45 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 65° = 16.06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 65° = 34.44 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 34.44²/(2·9.81) = 60.45 m

答案

H = 60.45 m

6.抛体运动

答案: x = 47.03 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 50° = 11.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 50° = 13.79 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 13.79·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.79 + √(190.1 + 490.5))/9.81 = 4.065 s

水平距离

x = v_x·t = 11.57·4.065 = 47.03 m

答案

x = 47.03 m

7.功和能

答案: d = 65.55 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.6·9.81) = 65.55 m

答案

d = 65.55 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: d = 0.6332 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·3000·0.1² = 15 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(49.05·(0.342 + 0.15·0.9397)) = 0.6332 m

答案

d = 0.6332 m

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 7.714 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 2)/(1.5 + 2)·9 = −1.286 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2)·9 = 7.714 m/s

答案

v′₂ = 7.714 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 4.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(9 + 19) = 4.2 N·s

答案

J = 4.2 N·s

11.静水压力

答案: F = 202.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·7.5 = 202.3 kN

答案

F = 202.3 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.111 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·2 = 60.33 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0.6667/(3·2) = 3.111 m

答案

y_cp = 3.111 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 1.801 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.0003142·9.396 = 0.001801 m³/s = 1.801 L/s

答案

Q = 1.801 L/s

14.连续性和伯努利

答案: v = 15.76 m/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(80000/1000 + 9.81·4.5)) = 15.76 m/s

答案

v = 15.76 m/s

15.理想气体定律

答案: P = 2935 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 330/16.04 = 20.57 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

压强

P = nRT/V = 20.57·8.314·343.1/0.02 = 2935 kPa

答案

P = 2935 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 8.31 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

密度

ρ = 1000·32/(8.314·463.1) = 8.31 kg/m³

答案

ρ = 8.31 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2626 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 375 + 273.15 = 648.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/648.1 = 57.09 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.5709·4600 = 2626 kJ

答案

W_max = 2626 kJ

18.热机和制冷机

答案: T_m = 542.5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 1050 + 273.15 = 1323 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

功相等

W = Q·(1 − T_low/T_high)，且每个热源的 Q/T 相同，所以 W 与温降成正比。

T_m = (1323 + 308.1)/2 = 815.7 K = 542.5 °C

答案

T_m = 542.5 °C

19.波、声与光学

答案: β₂ = 85.46 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (1/3)² = 0.1111

新的声级

β₂ = 95 + 10·log₁₀(0.1111) = 85.46 dB

答案

β₂ = 85.46 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: d_i = −16.67 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 25 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/10

d_i = −16.67 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −16.67 cm

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