大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)0.7 s12.5

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.7 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/htr = 0.7 sa = −5.5 m/s²
d = m
2.运动学困难
a = 38 m/s²

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 38 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 38 m/s²t1 = 2 sg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 40°a = ?m = 10 kg

一个 10 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 5 kg5.5 kgμ = 0.25

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 5 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 40 m/s50°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 40 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 40 mv0​ = 31 m/s60°射程

一个球 从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 31 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.功和能中等
35°d = 3 mμ = 0.3

一个 10 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 3 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
F = 30 N35°μ = 0.12 kg

一个 2 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 30 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.1。求物块沿斜坡向上移动 2 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 30 Nθ = 35°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
1 kg92 m/s4 kgv′2​ = ?

一个以 34 m/s 水平运动的 5 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 92 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′2（以原运动方向为正）。

M = 5 kgu = 34 m/sm1 = 1 kgv′1 = 92 m/sm2 = 4 kg
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
16 m/s8 m/s

一个 0.1 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgvin = 16 m/svout = 8 m/sΔt = 50 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 2.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = 360 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 360 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 360 kPav1 = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
C211 m4 md = 32 mmQ = ?

一根内径 32 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1 m，出口（通大气）低于水面 4 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求流量 Q。

d = 32 mmzC = +1 mz2 = −4 mg = 9.81 m/s²
Q = L/s
15.理想气体定律中等
30 g CO₂V = 10 LT = 75 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 30 g CO₂，温度为 75 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 30 gM = 44.01 g/molV = 10 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的CO₂从 350 kPa、20 L、40 °C 变化到 100 kPa 和 80 °C。求新的体积 V2。

P1 = 350 kPaV1 = 20 LT1 = 40 °CP2 = 100 kPaT2 = 80 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 375 °CTL​ = 5 °CEQH​ = 4000 kJQL​W = ?

一台热机在 375 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 4000 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 375 °CTL = 5 °CQH = 4000 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 700 °CT0​ = 20 °CTL​ = -10 °CERWQ̇H​ = 130 kWQ̇L​ = ?

一台卡诺热机从 700 °C 的热源吸收 130 kW 热量，并向 20 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -10 °C 的冷冻室排出热量，也向 20 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇L。

TH = 700 °CT0 = 20 °CTL = -10 °CQ̇H = 130 kW
Q̇L = kW
19.波、声与光学中等
θc = ?90°乙醇, n1​ = 1.36空气, n2​ = 1.00

光在乙醇（n = 1.36）中向与空气（n = 1.00）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。

n1 = 1.36n2 = 1.00
θc = °
20.波、声与光学困难
λ = 532 nmθ2​ = ?

波长为 532 nm 的光垂直照射在每毫米 100 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ2。

N = 100 mm⁻¹λ = 532 nmm = 2
θ2 = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 22.95 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 12.5·0.7 = 8.75 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5.5) = 14.2 m

合计

d = 8.75 + 14.2 = 22.95 m

答案

d = 22.95 m
2.运动学

答案: t = 18.44 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 38·2 = 76 m/s
h₁ = ½·38·2² = 76 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (76 + √(76² + 2·9.81·76))/9.81 = 16.44 s
t = 2 + 16.44 = 18.44 s

答案

t = 18.44 s
3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 32.12 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 12.26)/10.5 = 3.971 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 5·3.971 + 12.26 = 32.12 N

答案

T = 32.12 N
5.抛体运动

答案: H = 47.86 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 40·cos 50° = 25.71 m/s
vy = v0·sin θ = 40·sin 50° = 30.64 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 30.64²/(2·9.81) = 47.86 m

答案

H = 47.86 m
6.抛体运动

答案: t = 6.692 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 31·cos 60° = 15.5 m/s
vy = v0·sin θ = 31·sin 60° = 26.85 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 26.85·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (26.85 + √(720.8 + 784.8))/9.81 = 6.692 s

答案

t = 6.692 s
7.功和能

答案: Wf = 72.32 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.8192 = 80.36 N
F = μN = 0.3·80.36 = 24.11 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 24.11·3 = 72.32 J

答案

Wf = 72.32 J
8.功和能

答案: v = 5.855 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N
mg·sin θ = 11.25 N
μ·mg·cos θ = 1.607 N

功–能关系

½mv² = (30 − 12.86)·2 = 34.28 J
v = √(2·34.28/2) = 5.855 m/s

答案

v = 5.855 m/s
9.动量与碰撞

答案: v′2 = 19.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 5·34 = 170 kg·m/s

碰撞后的动量

170 = 1·92 + 4·v′2
v′2 = (170 − 92)/4 = 19.5 m/s

答案

v′2 = 19.5 m/s
10.动量与碰撞

答案: J = 2.4 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(8 + 16) = 2.4 N·s

答案

J = 2.4 N·s
11.静水压力

答案: F = 138 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
闸门d = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·3.75 = 138 kN

答案

F = 138 kN
12.静水压力

答案: ycp = 5.349 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 4 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·5.25·2.5 = 162.2 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5.25 + 1.302/(5.25·2.5) = 5.349 m

答案

ycp = 5.349 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 337.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(150/50)² = 6.75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 6.75²)/1000 = −22.5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 360 + (−22.5) = 337.5 kPa

答案

p2 = 337.5 kPa
14.连续性和伯努利

答案: Q = 7.125 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·4) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

流量

Q = A·v = 0.0008042·8.859 = 0.007125 m³/s = 7.125 L/s

答案

Q = 7.125 L/s
15.理想气体定律

答案: P = 197.3 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 30/44.01 = 0.6817 mol
T = 75 + 273.15 = 348.1 K

压强

P = nRT/V = 0.6817·8.314·348.1/0.01 = 197.3 kPa

答案

P = 197.3 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 78.94 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 313.1 K, T2 = 353.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(350/100)·(353.1/313.1) = 78.94 L

答案

V2 = 78.94 L
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 2283 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 375 + 273.15 = 648.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 278.1/648.1 = 57.09 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.5709·4000 = 2283 kJ

答案

Wmax = 2283 kJ
18.热机和制冷机

答案: Q̇L = 796.8 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 700 + 273.15 = 973.1 K
T0 = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = -10 + 273.15 = 263.1 K

热机的功

η = 1 − 293.1/973.1 = 0.6988
Ẇ = 0.6988·130 = 90.84 kW

制冷机排出的热量

COPR = 263.1/(293.1 − 263.1) = 8.772
Q̇L = 8.772·90.84 = 796.8 kW

答案

Q̇L = 796.8 kW
19.波、声与光学

答案: θc = 47.33 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.36 = 0.7353

临界角

θc = arcsin(0.7353) = 47.33°

答案

θc = 47.33°
20.波、声与光学

答案: θ2 = 6.108 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·532 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.1064
θ = 6.108°

答案

θ2 = 6.108°

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