大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)0.5 s20

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/htr = 0.5 sa = −6 m/s²
d = m
2.运动学困难
v₀ = 6 m/s5 m

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 35°a = ?m = 20 kg

一个 20 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 6 kg3.5 kgμ = 0.3

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 6 kgm2 = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 30 m/sθ = ?R = 30 m

一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 30 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 30 m/sR = 30 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
h = 30 mv0​ = 35 m/s60°x = ?

一个球 从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 35 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
45°d = 18 mμ = 0.2

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.2d = 18 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
k = 3000 N/m15°μ = 0.152 kg

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 3000 N/mx = 8 cmθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
d = m
9.动量与碰撞中等
1 kgv = ?8 gh = 18 cm

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 18 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1 kgh = 18 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.动量与碰撞困难
1300 kg8 m/s900 kg10 m/sθ = ?

在一个十字路口，一辆以 8 m/s 向东行驶的 1300 kg 汽车与一辆以 10 m/s 向北行驶的 900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。 求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m1 = 1300 kgv1 = 8 m/s (E)m2 = 900 kgv2 = 10 m/s (N)
θ = °
11.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 3 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 2.5 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
d1​ = 100 mmd2​ = 50 mm12p1​ − p2​ = 21 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 50 mm。入口处的压强比喉部高 21 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 − p2 = 21 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
14.连续性和伯努利困难
pair​ = 200 kPav = ?d = 25 mmh = 2 m

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 200 kPa。水从水面以下 2 m 处直径 25 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。

pair = 200 kPa (表压)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
15.理想气体定律中等
130 g N₂V = 50 LT = 65 °CP = ?

容积为 50 L 的容器中装有 130 g N₂，温度为 65 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 130 gM = 28.01 g/molV = 50 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的Ar从 400 kPa、10 L、30 °C 变化到 450 kPa 和 130 °C。求新的体积 V2。

P1 = 400 kPaV1 = 10 LT1 = 30 °CP2 = 450 kPaT2 = 130 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 625 °CTL​ = 30 °CEQH​ = 800 kJQL​W = ?

一台热机在 625 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 800 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 625 °CTL = 30 °CQH = 800 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 21 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 13 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 13 kW 热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 21 °CTL = 2 °CQ̇H = 13 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
L = 0.8 mn = 5

两端开口的管长 0.8 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f5。

v = 343 m/sn = 5L = 0.8 m
f5 = Hz
20.波、声与光学困难
λ = 450 nmθ

一个衍射光栅每毫米有 100 条刻线。波长为 450 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 mmax？

N = 100 mm⁻¹λ = 450 nm
mmax =

3溶液

1.运动学

答案: d = 43.33 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 20·0.5 = 10 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 20²/(2·6) = 33.33 m

合计

d = 10 + 33.33 = 43.33 m

答案

d = 43.33 m
2.运动学

答案: hmax = 6.835 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

离地面的高度

hmax = 5 + 1.835 = 6.835 m

答案

hmax = 6.835 m
3.牛顿定律

答案: a = 3.216 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

答案

a = 3.216 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 1.755 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (34.34 − 17.66)/9.5 = 1.755 m/s²

答案

a = 1.755 m/s²
5.抛体运动

答案: θ = 9.543 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·30/30² = 0.327

相角

2θ = 19.09° → θ = 9.543°

答案

θ = 9.543°

另一个解为 90° − θ = 80.46°。

6.抛体运动

答案: x = 123.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 35·cos 60° = 17.5 m/s
vy = v0·sin θ = 35·sin 60° = 30.31 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 30.31·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (30.31 + √(918.7 + 588.6))/9.81 = 7.047 s

水平距离

x = vx·t = 17.5·7.047 = 123.3 m

答案

x = 123.3 m
7.功和能

答案: v = 14.13 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·18·(0.7071 − 0.2·0.7071)) = 14.13 m/s

答案

v = 14.13 m/s
8.功和能

答案: d = 1.212 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m
½kx² = ½·3000·0.08² = 9.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 9.6/(19.62·(0.2588 + 0.15·0.9659)) = 1.212 m

答案

d = 1.212 m
9.动量与碰撞

答案: v = 236.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.18) = 1.879 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1)·1.879/0.008 = 236.8 m/s

答案

v = 236.8 m/s
10.动量与碰撞

答案: θ = 40.87 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

px = 1300·8 = 10400 kg·m/s
py = 900·10 = 9000 kg·m/s

方向

tan θ = py/px = 0.8654 → θ = 40.87°

答案

θ = 40.87°
11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
闸门d = 0.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
12.静水压力

答案: ycp = 3.595 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 2.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3.5·2 = 60.43 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 0.6667/(3.5·2) = 3.595 m

答案

ycp = 3.595 m
13.连续性和伯努利

答案: Q = 13.14 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(50/100)² = 0.25·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·21000/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.693 m/s
v1 = 1.673 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.001963·6.693 = 0.01314 m³/s = 13.14 L/s

答案

Q = 13.14 L/s
14.连续性和伯努利

答案: v = 20.96 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(200000/1000 + 9.81·2)) = 20.96 m/s

答案

v = 20.96 m/s
15.理想气体定律

答案: P = 261 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 130/28.01 = 4.641 mol
T = 65 + 273.15 = 338.1 K

压强

P = nRT/V = 4.641·8.314·338.1/0.05 = 261 kPa

答案

P = 261 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 11.82 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 303.1 K, T2 = 403.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(400/450)·(403.1/303.1) = 11.82 L

答案

V2 = 11.82 L
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 530 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 625 + 273.15 = 898.1 K
TL = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 303.1/898.1 = 66.25 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.6625·800 = 530 kJ

答案

Wmax = 530 kJ
18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.8397 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 275.1) = 15.48

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇H/COP = 13/15.48 = 0.8397 kW

答案

Ẇmin = 0.8397 kW
19.波、声与光学

答案: f5 = 1072 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.8/5 = 0.32 m

频率

f = v/λ = 343/0.32 = 1072 Hz

答案

f5 = 1072 Hz
20.波、声与光学

答案: mmax = 22

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/100 mm = 10 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 10 µm/0.45 µm = 22.22 → mmax = 22

答案

mmax = 22

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