大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 280 km/h 的速度，可用跑道长 2000 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 280 km/hs = 2000 m

a = m/s²

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 12 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 8 st₂ = 12 sa₃ = −4.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 150 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 150 Nθ = 15°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 10 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 10 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 28 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 24 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 28 m/sθ = 25°x = 24 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆 1200 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 5° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 300 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1200 kgθ = 5°F_r = 300 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.5 kgv_in = 30 m/sv_out = 5 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 100 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 100 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 50 kPa。喷嘴出口直径为 20 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 50 kPa (表压)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

容积为 10 L 的容器中装有 240 g CH₄，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 240 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的CO₂从 100 kPa、2 L、40 °C 变化到 750 kPa 和 150 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 100 kPaV₁ = 2 LT₁ = 40 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 450 °C 的热源吸收 3600 kJ 热量，放出 1509 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 450 °CQ_H = 3600 kJQ_L = 1509 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -18 °C，以 2 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 35 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 2 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.5 m；波在其上以 240 m/s 传播。求其第 2 次谐波的频率 f₂。

v = 240 m/sn = 2L = 0.5 m

f₂ = Hz

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 10 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = −15 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 12 cmf₂ = −15 cms = 10 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.512 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·2000) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

2.运动学

答案: t = 25.33 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·8 = 24 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 24/4.5 = 5.333 s

总时间

t = 8 + 12 + 5.333 = 25.33 s

答案

t = 25.33 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.771 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 150·sin 15° = 108.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 144.9 − 43.33

a = 101.6/15 = 6.771 m/s²

答案

a = 6.771 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 7.571 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·6.604) = 7.571 m

答案

d = 7.571 m

5.抛体运动

答案: y = 6.804 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 28·cos 25° = 25.38 m/s

t = x/v_x = 24/25.38 = 0.9458 s

此时的高度

y = 11.83·0.9458 − ½·9.81·0.9458² = 6.804 m

答案

y = 6.804 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 114 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 40° = 22.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 40° = 19.28 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 19.28·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.28 + √(371.9 + 490.5))/9.81 = 4.959 s

水平距离

x = v_x·t = 22.98·4.959 = 114 m

答案

x = 114 m

7.功和能

答案: P = 26.52 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 5° = 1026 N

F = 1026 + 300 = 1326 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1326·20 = 26520 W = 26.52 kW

答案

P = 26.52 kW

8.功和能

答案: x = 42.6 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.1·1.5) = 72.59 J

最大压缩量

½kx² = 72.59 → x = √(2·72.59/800) = 0.426 m = 42.6 cm

答案

x = 42.6 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 4.091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 0.5)/(5 + 0.5)·5 = 4.091 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 0.5)·5 = 9.091 m/s

答案

v′₁ = 4.091 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 700 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(5 + 30) = 17.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 17.5/0.025 = 700 N

答案

F_avg = 700 N

11.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.4 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.25·2.25 = 28.28 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.25 + 0.4219/(1.25·2.25) = 1.4 m

答案

y_cp = 1.4 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 83.13 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(150/75)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 6²)/1000 = −16.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−16.88) = 83.13 kPa

答案

p₂ = 83.13 kPa

14.连续性和伯努利

答案: H = 5.123 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 20/75 = 0.2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9949)) = 10.03 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 10.03²/(2·9.81) = 5.123 m

答案

H = 5.123 m

15.理想气体定律

答案: P = 4144 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 240/16.04 = 14.96 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 14.96·8.314·333.1/0.01 = 4144 kPa

答案

P = 4144 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 0.3603 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 423.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(100/750)·(423.1/313.1) = 0.3603 L

答案

V₂ = 0.3603 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 29.97 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 723.1·1509/3600 = 303.1 K = 29.97 °C

答案

T_L = 29.97 °C

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 4.814

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(308.1 − 255.1) = 4.814

答案

COP_max = 4.814

19.波、声与光学

答案: f₂ = 480 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.5/2 = 0.5 m

频率

f = v/λ = 240/0.5 = 480 Hz

答案

f₂ = 480 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i2 = 13.64 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/12 − 1/40 → d_i1 = 17.14 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 10 − 17.14 = −7.143 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/(−7.143) → d_i2 = 13.64 cm

答案

d_i2 = 13.64 cm

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