大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)0.8 s12.5

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/htr = 0.8 sa = −5 m/s²
d = m
2.运动学困难
t (s)v (m/s)5 s

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 5 s，然后匀速行驶 8 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。 求两站之间的总距离 s。

a1 = 1 m/s²t1 = 5 st2 = 8 sa3 = −3.5 m/s²
s = m
3.牛顿定律中等
箱子v₀ = 12 m/sμ = ?

一个箱子以 12 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 24 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 12 m/sd = 24 mg = 9.81 m/s²
μ =
4.牛顿定律困难
m1​ = 2.5 kg2.5 kg无摩擦

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 2.5 kgm2 = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
96 my = ?v0​ = 40 m/s50°

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 96 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 50°x = 96 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
14 mv0​ = 40 m/s35°x = ?

一个球从地面以 40 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 14 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 35°hroof = 14 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
50 km/h

一辆汽车在水平路面上以 50 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 50 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²
d = m
8.功和能困难
k = 1000 N/m30°μ = 0.22 kg

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
d = m
9.动量与碰撞中等
5 kg11 m/s1.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 5 kgm2 = 1.5 kgv1 = 11 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.动量与碰撞困难
19 m/s13 m/s

一个 0.55 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgvin = 19 m/svout = 13 m/sΔt = 25 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 2 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 3 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 200 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 100 mm。宽段压强为 340 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 340 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 270 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 9 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 9 m。截面 1 处压强为 270 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 270 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
220 g N₂V = 5 LT = 40 °CP = ?

容积为 5 L 的容器中装有 220 g N₂，温度为 40 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 220 gM = 28.01 g/molV = 5 LT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的Ar从 100 kPa、5 L、35 °C 变化到 100 kPa 和 220 °C。求新的体积 V2。

P1 = 100 kPaV1 = 5 LT1 = 35 °CP2 = 100 kPaT2 = 220 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 400 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​η = 39%

一台热机从 400 °C 的热源吸热，向 25 °C 的环境放热。其实际热效率为 39%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 400 °CTL = 25 °Cη = 39%
ηII = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 21 °CTL​ = -5 °CHPQ̇H​ = 10 kWQ̇L​Ẇ

一台热泵在室外 -5 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 10 kW 热量。 求可能的最高性能系数 COPmax。

TH = 21 °CTL = -5 °CQ̇H = 10 kW
COPmax =
19.波、声与光学中等
θc = ?90°甘油, n1​ = 1.47水, n2​ = 1.33

光在甘油（n = 1.47）中向与水（n = 1.33）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。

n1 = 1.47n2 = 1.33
θc = °
20.波、声与光学困难
Fdo​ = 40 cmR = 30 cm

一个物体位于曲率半径为 30 cm 的凹面镜前 40 cm 处。求像距 di，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

do = 40 cmR = 30 cm
di = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 25.63 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 12.5·0.8 = 10 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5) = 15.63 m

合计

d = 10 + 15.63 = 25.63 m

答案

d = 25.63 m
2.运动学

答案: s = 56.07 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 1·5 = 5 m/s

各阶段的距离

s1 = ½·1·5² = 12.5 m
s2 = 5·8 = 40 m
s3 = 5²/(2·3.5) = 3.571 m

总距离

s = 12.5 + 40 + 3.571 = 56.07 m

答案

s = 56.07 m
3.牛顿定律

答案: μ = 0.3058

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 12²/(2·24) = 3 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3/9.81 = 0.3058

答案

μ = 0.3058
4.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 0)/5 = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²
5.抛体运动

答案: y = 46.03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

vx = 40·cos 50° = 25.71 m/s
t = x/vx = 96/25.71 = 3.734 s

此时的高度

y = 30.64·3.734 − ½·9.81·3.734² = 46.03 m

答案

y = 46.03 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 129.6 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 32.77 m/s, vy = 22.94 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

14 = 22.94·t − 4.905·t²
t = (22.94 + √(22.94² − 2·9.81·14))/9.81 = 3.956 s

水平距离

x = vx·t = 32.77·3.956 = 129.6 m

答案

x = 129.6 m
7.功和能

答案: d = 14.05 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.7·9.81) = 14.05 m

答案

d = 14.05 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: d = 0.8517 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m
½kx² = ½·1000·0.15² = 11.25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 11.25/(19.62·(0.5 + 0.2·0.866)) = 0.8517 m

答案

d = 0.8517 m
9.动量与碰撞

答案: v′1 = 5.923 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (5 − 1.5)/(5 + 1.5)·11 = 5.923 m/s
v′2 = 2·5/(5 + 1.5)·11 = 16.92 m/s

答案

v′1 = 5.923 m/s
10.动量与碰撞

答案: J = 17.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(13 + 19) = 17.6 N·s

答案

J = 17.6 N·s
11.静水压力

答案: F = 239.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 2 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

答案

F = 239.1 kN
12.静水压力

答案: ycp = 2.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
闸门d = 1 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.5·9 = 278.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.5 + 6.75/(2.5·9) = 2.8 m

答案

ycp = 2.8 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 338.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(200/100)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 340 + (−1.875) = 338.1 kPa

答案

p2 = 338.1 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 134.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(100/50)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 270 + (−46.88) − 88.29 = 134.8 kPa

答案

p2 = 134.8 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 4090 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 220/28.01 = 7.854 mol
T = 40 + 273.15 = 313.1 K

压强

P = nRT/V = 7.854·8.314·313.1/0.005 = 4090 kPa

答案

P = 4090 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 8.002 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 308.1 K, T2 = 493.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(100/100)·(493.1/308.1) = 8.002 L

答案

V2 = 8.002 L
17.热机和制冷机

答案: ηII = 70.01 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 298.1/673.1 = 55.71 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 39/55.71 = 70.01 %

答案

ηII = 70.01 %
18.热机和制冷机

答案: COPmax = 11.31

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 268.1) = 11.31

答案

COPmax = 11.31
19.波、声与光学

答案: θc = 64.79 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.47 = 0.9048

临界角

θc = arcsin(0.9048) = 64.79°

答案

θc = 64.79°
20.波、声与光学

答案: di = 24 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 15 cm

镜面方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/15 − 1/40
di = 24 cm
F40 cmf = 15 cm

光线图

镜前的实像

答案

di = 24 cm

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