大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 2 m/s²汽车17 m/s

一辆以恒定的 17 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。

vcar = 17 m/sapolice = 2 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 18 m/s10 m

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 18 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 20°a = ?m = 15 kg

一个 15 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1.5 kg5.5 kgμ = 0.25

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 1.5 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 14 m/s65°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 14 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 35 mv0​ = 14 m/s50°x = ?

一个球 从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 14 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
45°d = 5 mμ = 0.2

一个 2 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 5 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.2d = 5 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
h = 14 mR = 5 mN = ?

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 14 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 5 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 14 mR = 5 mg = 9.81 m/s²
N = N
9.动量与碰撞中等
12 kg77 m/s7 kgv′2​ = ?

一个以 33 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。12 kg 的碎片以 77 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′2（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 33 m/sm1 = 12 kgv′1 = 77 m/sm2 = 7 kg
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
2 kgv = ?8 g25°L = 1.2 m

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 2 kgL = 1.2 mθ = 25°g = 9.81 m/s²
v = m/s
11.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 1 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 1 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = 350 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 350 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 25 mmp1 = 350 kPav1 = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 150 mm, p1​ = 290 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 7 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 290 kPav1 = 2 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
400 g ArV = 10 LT = 55 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 400 g Ar，温度为 55 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 400 gM = 39.95 g/molV = 10 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
He, M = 4.003 g/molP = 150 kPaT = 90 °Cρ = ?

按理想气体处理，求He在 150 kPa 和 90 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 150 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 225 °CTL​ = ?EQH​ = 4100 kJQL​ = 2454 kJW

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 225 °C 的热源吸收 4100 kJ 热量，放出 2454 kJ。求冷源的温度 TL，以 °C 表示。

TH = 225 °CQH = 4100 kJQL = 2454 kJ
TL = °C
18.热机和制冷机困难
TH​ = 21 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 8 kWQ̇L​Ẇ

一台热泵在室外 7 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 8 kW 热量。 求可能的最高性能系数 COPmax。

TH = 21 °CTL = 7 °CQ̇H = 8 kW
COPmax =
19.波、声与光学中等
SO5 m/sf = 400 Hz

观察者以 5 m/s 的速度远离频率为 400 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 400 Hzv = 343 m/svo = 5 m/s
f′ = Hz
20.波、声与光学困难
f1​ = 8 cmf2​ = 12 cm40 cm50 cm

两个薄透镜共轴，相距 50 cm：透镜 1 的 f₁ = 8 cm，透镜 2 的 f₂ = 12 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 8 cmf2 = 12 cms = 50 cmdo = 40 cm
di2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 17 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/2 = 17 s

答案

t = 17 s

此时警车的速度为 2v = 34 m/s。

2.运动学

答案: hmax = 26.51 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

离地面的高度

hmax = 10 + 16.51 = 26.51 m

答案

hmax = 26.51 m
3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 7.182 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 3.679)/7 = 7.182 m/s²

答案

a = 7.182 m/s²
5.抛体运动

答案: x = 15.31 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 14·cos 65° = 5.917 m/s
vy = v0·sin θ = 14·sin 65° = 12.69 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·12.69/9.81 = 2.587 s

水平距离

x = vx·t = 5.917·2.587 = 15.31 m

答案

x = 15.31 m
6.抛体运动

答案: x = 35.81 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 14·cos 50° = 8.999 m/s
vy = v0·sin θ = 14·sin 50° = 10.72 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 10.72·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (10.72 + √(115 + 686.7))/9.81 = 3.98 s

水平距离

x = vx·t = 8.999·3.98 = 35.81 m

答案

x = 35.81 m
7.功和能

答案: Wf = 13.87 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.7071 = 13.87 N
F = μN = 0.2·13.87 = 2.775 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 2.775·5 = 13.87 J

答案

Wf = 13.87 J
8.功和能

答案: N = 11.77 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(14 − 10) = 78.48 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N
N = mv²/R − mg = 2·78.48/5 − 19.62 = 11.77 N

答案

N = 11.77 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′2 = −42.43 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 19·33 = 627 kg·m/s

碰撞后的动量

627 = 12·77 + 7·v′2
v′2 = (627 − 924)/7 = −42.43 m/s

答案

v′2 = −42.43 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v = 372.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 25°) = 0.1124 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1124) = 1.485 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.008·1.485/0.008 = 372.8 m/s

答案

v = 372.8 m/s
11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
闸门d = 2.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
12.静水压力

答案: ycp = 1.556 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
闸门d = 1 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 0.1667/(1.5·2) = 1.556 m

答案

ycp = 1.556 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 278.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(100/25)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 12²)/1000 = −71.72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 350 + (−71.72) = 278.3 kPa

答案

p2 = 278.3 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 213.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/100)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 290 + (−8.125) − 68.67 = 213.2 kPa

答案

p2 = 213.2 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 2732 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 400/39.95 = 10.01 mol
T = 55 + 273.15 = 328.1 K

压强

P = nRT/V = 10.01·8.314·328.1/0.01 = 2732 kPa

答案

P = 2732 kPa
16.理想气体定律

答案: ρ = 0.1989 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 90 + 273.15 = 363.1 K

密度

ρ = 150·4.003/(8.314·363.1) = 0.1989 kg/m³

答案

ρ = 0.1989 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: TL = 25.01 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

热源的热力学温度

TH = 225 + 273.15 = 498.1 K

可逆循环的热量比

TL = TH·QL/QH = 498.1·2454/4100 = 298.2 K = 25.01 °C

答案

TL = 25.01 °C
18.热机和制冷机

答案: COPmax = 21.01

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 280.1) = 21.01

答案

COPmax = 21.01
19.波、声与光学

答案: f′ = 394.2 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 400·(343 − 5)/(343 + 0)
f′ = 394.2 Hz

答案

f′ = 394.2 Hz
20.波、声与光学

答案: di2 = 17.14 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/8 − 1/40 → di1 = 10 cm

透镜 2 的物

do2 = 50 − 10 = 40 cm

最终的像

1/di2 = 1/12 − 1/40 → di2 = 17.14 cm

答案

di2 = 17.14 cm

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