大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 6 m/s²汽车29 m/s

一辆以恒定的 29 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。

vcar = 29 m/sapolice = 6 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
d = ?

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

ttotal = 3.1 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
θ = 25°a = ?m = 11 kg

一个 11 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 10 kg6 kg无摩擦

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 10 kgm2 = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = ?40°R = 45 m

一个球从水平地面以与水平方向成 40° 的角度抛出，落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v0。

θ = 40°R = 45 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.抛体运动困难
3 mv0​ = 25 m/s65°x = ?

一个球从地面以 25 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 3 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 25 m/sθ = 65°hroof = 3 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
15°d = 14 mμ = 0.15

一个物块由静止沿倾角 15° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 15°μ = 0.15d = 14 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
h = 3.5 mL = 4 mμ = 0.2k = 5000 N/m

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 4 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
5 kg8 m/s3 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 5 kgm2 = 3 kgv1 = 8 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.动量与碰撞困难
14 m/s15 m/s

一个 0.25 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.25 kgvin = 14 m/svout = 15 m/sΔt = 25 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 2 mH = 1.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 2 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = 220 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 220 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 220 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 280 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 280 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 280 kPav1 = 0.75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
380 g ArV = 5 LT = 30 °CP = ?

容积为 5 L 的容器中装有 380 g Ar，温度为 30 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 380 gM = 39.95 g/molV = 5 LT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的CH₄从 300 kPa、5 L、20 °C 变化到 800 kPa 和 70 °C。求新的体积 V2。

P1 = 300 kPaV1 = 5 LT1 = 20 °CP2 = 800 kPaT2 = 70 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 625 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​W

一台热机在 625 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。

TH = 625 °CTL = 15 °C
ηmax = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 800 °CTL​ = 20 °CEQH​ = 4400 kJQL​ = 2156 kJW = 2244 kJ

一台热机每个循环从 800 °C 的热源吸收 4400 kJ 热量，产生 2244 kJ 的功，其余热量排向 20 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 Sgen。

TH = 800 °CTL = 20 °CQH = 4400 kJW = 2244 kJ
Sgen = kJ/K
19.波、声与光学中等
L = 1.5 mn = 1

两端固定的弦长 1.5 m；波在其上以 150 m/s 传播。求其基频（一次谐波）的频率 f1。

v = 150 m/sn = 1L = 1.5 m
f1 = Hz
20.波、声与光学困难
λ = ?d = 0.25 mmL = 1.2 m2.827 mm

用单色光照射相距 0.25 mm 的两条缝。在 1.2 m 外的屏上，第 1 条亮条纹距中央条纹 2.827 mm。求波长 λ。

d = 0.25 mmL = 1.2 my1 = 2.827 mmm = 1
λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 9.667 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/6 = 9.667 s

答案

t = 9.667 s

此时警车的速度为 2v = 58 m/s。

2.运动学

答案: d = 43.37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.1 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1063))/(2·4.905) = 2.974 s

深度

d = ½·9.81·2.974² = 43.37 m

答案

d = 43.37 m
3.牛顿定律

答案: a = 1.479 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答案

a = 1.479 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 36.79 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (58.86 − 0)/16 = 3.679 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 10·3.679 + 0 = 36.79 N

答案

T = 36.79 N
5.抛体运动

答案: v0 = 21.17 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·45/sin 80°) = 21.17 m/s

答案

v0 = 21.17 m/s
6.抛体运动

答案: x = 47.36 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 10.57 m/s, vy = 22.66 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

3 = 22.66·t − 4.905·t²
t = (22.66 + √(22.66² − 2·9.81·3))/9.81 = 4.483 s

水平距离

x = vx·t = 10.57·4.483 = 47.36 m

答案

x = 47.36 m
7.功和能

答案: v = 5.594 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·14·(0.2588 − 0.15·0.9659)) = 5.594 m/s

答案

v = 5.594 m/s
8.功和能

答案: x = 7.278 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.2·4) = 13.24 J

最大压缩量

½kx² = 13.24 → x = √(2·13.24/5000) = 0.07278 m = 7.278 cm

答案

x = 7.278 cm
9.动量与碰撞

答案: v′1 = 2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (5 − 3)/(5 + 3)·8 = 2 m/s
v′2 = 2·5/(5 + 3)·8 = 10 m/s

答案

v′1 = 2 m/s
10.动量与碰撞

答案: Favg = 290 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(15 + 14) = 7.25 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 7.25/0.025 = 290 N

答案

Favg = 290 N
11.静水压力

答案: F = 121.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
闸门d = 2 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·4.5 = 121.4 kN

答案

F = 121.4 kN
12.静水压力

答案: ycp = 5.067 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
闸门d = 4 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·5·4 = 201.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5 + 1.333/(5·4) = 5.067 m

答案

ycp = 5.067 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 218.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(100/50)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 220 + (−1.875) = 218.1 kPa

答案

p2 = 218.1 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 269.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−0.6076) − 9.81 = 269.6 kPa

答案

p2 = 269.6 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 4795 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 380/39.95 = 9.512 mol
T = 30 + 273.15 = 303.1 K

压强

P = nRT/V = 9.512·8.314·303.1/0.005 = 4795 kPa

答案

P = 4795 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 2.195 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 293.1 K, T2 = 343.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(300/800)·(343.1/293.1) = 2.195 L

答案

V2 = 2.195 L
17.热机和制冷机

答案: ηmax = 67.92 %

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 625 + 273.15 = 898.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/898.1 = 67.92 %

答案

ηmax = 67.92 %
18.热机和制冷机

答案: Sgen = 3.255 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 QH/TH，低温热源得到 QL/TL。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

QL = QH − W = 4400 − 2244 = 2156 kJ

绝对温度

TH = 800 + 273.15 = 1073 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

热源的熵变

ΔSH = −4400/1073 = −4.1 kJ/K
ΔSL = 2156/293.1 = 7.355 kJ/K
Sgen = 7.355 − 4.1 = 3.255 kJ/K

答案

Sgen = 3.255 kJ/K

Sgen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f1 = 50 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.5/1 = 3 m

频率

f = v/λ = 150/3 = 50 Hz

答案

f1 = 50 Hz
20.波、声与光学

答案: λ = 589 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.002827·0.00025/(1·1.2) = 5.89 × 10⁻⁷ m = 589 nm

答案

λ = 589 nm

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