大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 2400 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 30 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 30 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4.5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 45 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 38 m/sθ = 25°x = 45 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 23 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 23 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 800 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 800 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0.25k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 17 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 36 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 36 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 200 kPa。水从水面以下 4.5 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 200 kPa (表压)h = 4.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 10 L 的容器中装有 180 g CH₄，温度为 95 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 180 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的He从 150 kPa、20 L、30 °C 变化到 800 kPa 和 110 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 20 LT₁ = 30 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 500 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。它吸收 2100 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 500 °CT_L = 15 °CQ_H = 2100 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 700 °C 的热源吸收 2900 kJ 热量，产生 1595 kJ 的功，其余热量排向 30 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 700 °CT_L = 30 °CQ_H = 2900 kJW = 1595 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.6 m；波在其上以 200 m/s 传播。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 200 m/sn = 5L = 0.6 m

f₅ = Hz

20.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 25 m/s 的速度远离的汽车发射 20 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.778 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·2400) = 0.778 m/s²

答案

a = 0.778 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 547.8 m

动力阶段

v₁ = 30·3 = 90 m/s

h₁ = ½·30·3² = 135 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 90²/(2·9.81) = 412.8 m

h_max = 135 + 412.8 = 547.8 m

答案

h_max = 547.8 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.781 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答案

a = 2.781 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 5.706 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 7.357 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.549 N

系统的加速度

a = (44.15 − 7.357 − 2.549)/6 = 5.706 m/s²

答案

a = 5.706 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 12.61 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 38·cos 25° = 34.44 m/s

t = x/v_x = 45/34.44 = 1.307 s

此时的高度

y = 16.06·1.307 − ½·9.81·1.307² = 12.61 m

答案

y = 12.61 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: α = 64.72 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 23·cos 60° = 11.5 m/s

v_y0 = 23·sin 60° = 19.92 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(19.92² + 2·9.81·10) = 24.35 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 24.35/11.5 → α = 64.72°

答案

α = 64.72°

7.功和能

答案: h = 0.6796 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·800·0.05² = 1 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 1/1.472 = 0.6796 m

答案

h = 0.6796 m

8.功和能

答案: x = 52.41 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.25·1) = 68.67 J

最大压缩量

½kx² = 68.67 → x = √(2·68.67/500) = 0.5241 m = 52.41 cm

答案

x = 52.41 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 1.5)/(3.5 + 1.5)·3 = 1.2 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1.5)·3 = 4.2 m/s

答案

v′₁ = 1.2 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 2310 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(16 + 17) = 11.55 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.55/0.005 = 2310 N

答案

F_avg = 2310 N

11.静水压力

答案: F = 485.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·9 = 485.6 kN

答案

F = 485.6 kN

12.静水压力

答案: F = 116.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.5·3 = 116.5 kN

答案

F = 116.5 kN

13.连续性和伯努利

答案: v = 8.485 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·36000/1000) = 8.485 m/s

答案

v = 8.485 m/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 6.942 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(200000/1000 + 9.81·4.5)) = 22.1 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·22.1 = 0.006942 m³/s = 6.942 L/s

答案

Q = 6.942 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 3435 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 180/16.04 = 11.22 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

压强

P = nRT/V = 11.22·8.314·368.1/0.01 = 3435 kPa

答案

P = 3435 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 4.74 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 383.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(150/800)·(383.1/303.1) = 4.74 L

答案

V₂ = 4.74 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1317 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/773.1 = 62.73 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6273·2100 = 1317 kJ

答案

W_max = 1317 kJ

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 1.325 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 2900 − 1595 = 1305 kJ

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −2900/973.1 = −2.98 kJ/K

ΔS_L = 1305/303.1 = 4.305 kJ/K

S_gen = 4.305 − 2.98 = 1.325 kJ/K

答案

S_gen = 1.325 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f₅ = 833.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.6/5 = 0.24 m

频率

f = v/λ = 200/0.24 = 833.3 Hz

答案

f₅ = 833.3 Hz

20.波、声与光学

答案: f″ = 17283 Hz

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 − 25)/343 = 18542 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 25) = 17283 Hz

答案

f″ = 17283 Hz

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