大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 80 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 80 km/ht_r = 0.8 sa = −7 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 6 s，然后匀速行驶 12 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 6 st₂ = 12 sa₃ = −3.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 190 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 190 Nθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8.5 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 20 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.35d = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 3.5 mL = 5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 16 m/s 行驶的 1900 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1900 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一辆 1000 kg 的汽车撞上一辆停放的 1800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 22 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1000 kgm₂ = 1800 kgd = 22 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 13 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 160 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 13 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 160 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 280 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 10 L 的容器中装有 450 g O₂，温度为 25 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 450 gM = 32 g/molV = 10 LT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 150 kPa、5 L、30 °C 变化到 600 kPa 和 80 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 80 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 9 kW 的热量使冷库保持在 -30 °C，并向 35 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -30 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 5 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 9 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 20 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 9 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 10 m 处的声级为 85 dB。忽略吸收和反射，求 100 m 处的声级 β₂。

β₁ = 85 dBr₁ = 10 mr₂ = 100 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光通过一条宽 0.08 mm 的单缝。求 3 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 650 nma = 0.08 mmL = 3 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 53.05 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 22.22·0.8 = 17.78 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·7) = 35.27 m

合计

d = 17.78 + 35.27 = 53.05 m

答案

d = 53.05 m

2.运动学

答案: t = 22.29 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·6 = 15 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 15/3.5 = 4.286 s

总时间

t = 6 + 12 + 4.286 = 22.29 s

答案

t = 22.29 s

3.牛顿定律

答案: a = 7.346 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 190·sin 35° = 87.22 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 155.6 − 8.722

a = 146.9/20 = 7.346 m/s²

答案

a = 7.346 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 5.47 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·6.604) = 5.47 m

答案

d = 5.47 m

5.抛体运动

答案: t = 4.998 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24.51 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·24.51/9.81 = 4.998 s

答案

t = 4.998 s

6.抛体运动

答案: H = 14.67 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 28·sin 20° = 9.577 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 9.577²/(2·9.81) = 4.674 m

离地面的高度

H = 10 + 4.674 = 14.67 m

答案

H = 14.67 m

7.功和能

答案: v = 8.79 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·20·(0.5 − 0.35·0.866)) = 8.79 m/s

答案

v = 8.79 m/s

8.功和能

答案: v = 7.672 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3.5 − 0.1·5) = 58.86 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

答案

v = 7.672 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 50667 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·16/2400 = 12.67 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1900·16² = 243200 J

K_after = ½·2400·12.67² = 192533 J

损失的能量

ΔK = 243200 − 192533 = 50667 J

答案

ΔK = 50667 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 48.67 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·22) = 17.38 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·17.38/1000 = 48.67 m/s

答案

v₁ = 48.67 m/s

(175.2 km/h)

11.静水压力

答案: F = 60.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

答案

F = 60.7 kN

12.静水压力

答案: F = 101.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN

答案

F = 101.2 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 161.3 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.013/0.03142 = 0.4138 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.013/0.007854 = 1.655 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 160 + ½·1000·(1.655² − 0.4138²)/1000 = 160 + 1.284 = 161.3 kPa

答案

p₁ = 161.3 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 257.4 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/40)² = 5.273 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 5.273²)/1000 = −12.78 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−12.78) − 9.81 = 257.4 kPa

答案

p₂ = 257.4 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 3486 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 450/32 = 14.06 mol

T = 25 + 273.15 = 298.1 K

压强

P = nRT/V = 14.06·8.314·298.1/0.01 = 3486 kPa

答案

P = 3486 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.456 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 353.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/600)·(353.1/303.1) = 1.456 L

答案

V₂ = 1.456 L

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 11.41 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -30 + 273.15 = 243.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·308.1/243.1 = 11.41 kW

答案

Q̇_H = 11.41 kW

输入功率：Ẇ = 2.406 kW。

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.4605 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 278.1) = 19.54

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 9/19.54 = 0.4605 kW

答案

Ẇ_min = 0.4605 kW

19.波、声与光学

答案: β₂ = 65 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (10/100)² = 0.01

新的声级

β₂ = 85 + 10·log₁₀(0.01) = 65 dB

答案

β₂ = 65 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: w = 48.75 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 650 × 10⁻⁹·3/(0.08 × 10⁻³) = 24.37 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 48.75 mm

答案

w = 48.75 mm

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