大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 19 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 19 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

球 A 从 55 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 28 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 55 mv_0B = 28 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 7 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 9 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 10 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 30 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 7 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 40°h_roof = 7 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 90°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 1.5 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 1.5 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 7 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 3 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 9 m/sv_out = 17 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 13 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 13 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 160 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 320 g CH₄，温度为 50 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 320 gM = 16.04 g/molV = 5 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的He从 150 kPa、5 L、10 °C 变化到 100 kPa 和 200 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 10 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 2 kW 的热量使冷库保持在 4 °C，并向 35 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = 4 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 2 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 0 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 14 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 20 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 14 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端固定的弦的第 3 次谐波必须为 450 Hz；波在其上以 240 m/s 传播。求其长度 L。

v = 240 m/sn = 3f₃ = 450 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 10 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = 10 cm。一个物体位于透镜 1 前 50 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 5 cmf₂ = 10 cms = 10 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 144.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/5 = 7.6 s

距离

d = v·t = 19·7.6 = 144.4 m

答案

d = 144.4 m

此时警车的速度为 2v = 38 m/s。

2.运动学

答案: y = 36.07 m

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

55 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 55/28 = 1.964 s

相遇高度

y = 28·1.964 − ½·9.81·1.964² = 36.07 m

答案

y = 36.07 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 64.63 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 34.33 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.89 N

系统的加速度

a = (88.29 − 34.33 − 11.89)/16 = 2.629 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9.81 − 2.629) = 64.63 N

答案

T = 64.63 N

5.抛体运动

答案: H = 4.501 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 70° = 3.42 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 70° = 9.397 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9.397²/(2·9.81) = 4.501 m

答案

H = 4.501 m

6.抛体运动

答案: x = 81.05 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 22.98 m/s, v_y = 19.28 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

7 = 19.28·t − 4.905·t²

t = (19.28 + √(19.28² − 2·9.81·7))/9.81 = 3.527 s

水平距离

x = v_x·t = 22.98·3.527 = 81.05 m

答案

x = 81.05 m

7.功和能

答案: T = 14.71 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 90°) = 29.43 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·29.43/1.5 = 14.71 N

答案

T = 14.71 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 14.71 N。

8.功和能

答案: x = 39.62 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(1.5 − 0.2·3.5) = 78.48 J

最大压缩量

½kx² = 78.48 → x = √(2·78.48/1000) = 0.3962 m = 39.62 cm

答案

x = 39.62 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 235.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 3)·1.172/0.015 = 235.6 m/s

答案

v = 235.6 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 3.9 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(17 + 9) = 3.9 N·s

答案

J = 3.9 N·s

11.静水压力

答案: F = 117.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

答案

F = 117.7 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.722 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 1/(1.5·3) = 1.722 m

答案

y_cp = 1.722 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 5.099 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·13000/1000) = 5.099 m/s

答案

v = 5.099 m/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 75.45 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/40)² = 8.789 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 8.789²)/1000 = −35.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−35.5) − 49.05 = 75.45 kPa

答案

p₂ = 75.45 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 10720 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 320/16.04 = 19.95 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

压强

P = nRT/V = 19.95·8.314·323.1/0.005 = 10720 kPa

答案

P = 10720 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 12.53 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 283.1 K, T₂ = 473.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/100)·(473.1/283.1) = 12.53 L

答案

V₂ = 12.53 L

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 2.224 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 2·308.1/277.1 = 2.224 kW

答案

Q̇_H = 2.224 kW

输入功率：Ẇ = 0.2237 kW。

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.9551 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 273.1) = 14.66

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 14/14.66 = 0.9551 kW

答案

Ẇ_min = 0.9551 kW

19.波、声与光学

答案: L = 0.8 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 240/450 = 0.5333 m

长度

L = nλ/2 = 3·0.5333/2 = 0.8 m

答案

L = 0.8 m

20.波、声与光学

答案: d_i2 = −8 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/5 − 1/50 → d_i1 = 5.556 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 10 − 5.556 = 4.444 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/10 − 1/4.444 → d_i2 = −8 cm

答案

d_i2 = −8 cm

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