大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)5.714 s20

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −3.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 10 m/s40 m

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 10 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 40°a = ?m = 11 kg

一个 11 kg 的物块沿倾角为 40° 的光滑斜面下滑。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 7 kg4.5 kg无摩擦

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 7 kgm2 = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 36 m/s25°射程

一个球 从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 36 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
h = 45 mv0​ = 10 m/s55°v = ?

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 10 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求它落地时的速度 v。

v₀ = 10 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
7.功和能中等
110 km/h

一辆汽车在水平路面上以 110 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 110 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²
d = m
8.功和能困难
h = 16 mR = 4 mN = ?

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 16 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 16 mR = 4 mg = 9.81 m/s²
N = N
9.动量与碰撞中等
600 kg16 m/s1200 kg

一辆以 16 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 1200 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 600 kgv1 = 16 m/sm2 = 1200 kgv2 = 0
ΔK = J
10.动量与碰撞困难
30 m/s13 m/s

一个 0.2 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgvin = 30 m/svout = 13 m/sΔt = 20 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 3 mH = 3 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = 280 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 280 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 280 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
d1​ = 150 mmd2​ = 100 mm12Δh = 140 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 100 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 140 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 140 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
15.理想气体定律中等
340 g CO₂V = 50 LT = 85 °CP = ?

容积为 50 L 的容器中装有 340 g CO₂，温度为 85 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 340 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的CH₄从 100 kPa、5 L、30 °C 变化到 650 kPa 和 130 °C。求新的体积 V2。

P1 = 100 kPaV1 = 5 LT1 = 30 °CP2 = 650 kPaT2 = 130 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 850 °CTL​ = 35 °CEQH​QL​η = 40%

一台热机从 850 °C 的热源吸热，向 35 °C 的环境放热。其实际热效率为 40%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 850 °CTL = 35 °Cη = 40%
ηII = %
18.热机和制冷机困难
1100 °CTm​ = ?35 °CABWA​WB​

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 1100 °C 的热源吸热，向温度为 Tm 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 35 °C 的热源放热。 两台热机的热效率相同。求 Tm，以 °C 表示。

TH = 1100 °CTL = 35 °C
Tm = °C
19.波、声与光学中等
FF2 cmdo​ = 50 cmf = −10 cm

一个高 2 cm 的物体位于焦距为 10 cm 的薄发散透镜前 50 cm 处。求像高 hi（倒立的像为负）。

ho = 2 cmdo = 50 cmf = −10 cm
hi = cm
20.波、声与光学困难
λ = 450 nmd = 0.5 mmL = 3 my = ?

波长为 450 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y1。

λ = 450 nmd = 0.5 mmL = 3 mm = 1
y1 = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 57.14 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3.5) = 57.14 m

答案

s = 57.14 m
2.运动学

答案: hmax = 45.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

hmax = 40 + 5.097 = 45.1 m

答案

hmax = 45.1 m
3.牛顿定律

答案: a = 6.306 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答案

a = 6.306 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 3.839 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 0)/11.5 = 3.839 m/s²

答案

a = 3.839 m/s²
5.抛体运动

答案: t = 3.102 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 36·cos 25° = 32.63 m/s
vy = v0·sin θ = 36·sin 25° = 15.21 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·15.21/9.81 = 3.102 s

答案

t = 3.102 s
6.抛体运动

答案: v = 31.35 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 10·cos 55° = 5.736 m/s
vy0 = 10·sin 55° = 8.192 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

vy = √(8.192² + 2·9.81·45) = 30.82 m/s

落水速度

v = √(5.736² + 30.82²) = 31.35 m/s

答案

v = 31.35 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.功和能

答案: d = 79.31 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.6·9.81) = 79.31 m

答案

d = 79.31 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: N = 294.3 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(16 − 8) = 157 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N
N = mv²/R − mg = 10·157/4 − 98.1 = 294.3 N

答案

N = 294.3 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 51200 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 600·16/1800 = 5.333 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·600·16² = 76800 J
Kafter = ½·1800·5.333² = 25600 J

损失的能量

ΔK = 76800 − 25600 = 51200 J

答案

ΔK = 51200 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: J = 8.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(13 + 30) = 8.6 N·s

答案

J = 8.6 N·s
11.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
闸门d = 3 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN
12.静水压力

答案: F = 132 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1.75·7.5 = 132 kN

答案

F = 132 kN
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 278.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(150/75)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 280 + (−1.875) = 278.1 kPa

答案

p2 = 278.1 kPa
14.连续性和伯努利

答案: Q = 50.55 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.14 = 17305 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 100/150 = 0.6667
v2 = √(2·17305/(1000·(1 − 0.1975))) = 6.567 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.007854·6.567 = 0.05055 m³/s = 50.55 L/s

答案

Q = 50.55 L/s
15.理想气体定律

答案: P = 460.1 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 340/44.01 = 7.726 mol
T = 85 + 273.15 = 358.1 K

压强

P = nRT/V = 7.726·8.314·358.1/0.05 = 460.1 kPa

答案

P = 460.1 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 1.023 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 303.1 K, T2 = 403.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(100/650)·(403.1/303.1) = 1.023 L

答案

V2 = 1.023 L
17.热机和制冷机

答案: ηII = 55.12 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 308.1/1123 = 72.56 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 40/72.56 = 55.12 %

答案

ηII = 55.12 %
18.热机和制冷机

答案: Tm = 377.3 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 1100 + 273.15 = 1373 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

效率相等

由 1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm 得 Tm² = TH·TL。

Tm = √(1373·308.1) = 650.5 K = 377.3 °C

答案

Tm = 377.3 °C
19.波、声与光学

答案: hi = 0.3333 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−10) − 1/50
di = −8.333 cm
FF50 cmf = −10 cm

放大率与像高

m = −(−8.333)/50 = 0.1667
hi = 0.1667·2 = 0.3333 cm

答案

hi = 0.3333 cm
20.波、声与光学

答案: y1 = 2.7 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·3/(0.5 × 10⁻³) = 2.7 mm

第 1 条条纹

y1 = 1·2.7 = 2.7 mm

答案

y1 = 2.7 mm

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