大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 240 km/h 的速度，可用跑道长 2000 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 240 km/hs = 2000 m

a = m/s²

2.运动学困难

球 A 从 20 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 13 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 20 mv_0B = 13 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 28 m/s、与水平方向成 55° 的角度朝 15 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 28 m/sθ = 55°x = 15 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 35 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 35 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 1 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 3 mL = 4.5 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 800 kg 的汽车撞上一辆停放的 2000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 13 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 800 kgm₂ = 2000 kgd = 13 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 260 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 260 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 100 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 310 mm。流量系数为 0.97。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 310 mmC_d = 0.97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

480 g He在 700 kPa 和 0 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 480 gM = 4.003 g/molP = 700 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 300 kPa、2 L、15 °C 变化到 350 kPa 和 210 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 15 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 300 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 300 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 350 °C 的热源吸收 1700 kJ 热量，产生 544 kJ 的功，其余热量排向 15 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 350 °CT_L = 15 °CQ_H = 1700 kJW = 544 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

频率为 300 Hz、速度为 25 m/s 的声源与速度为 15 m/s 的观察者相互远离。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 1200 mm⁻¹λ = 589 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.111 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·2000) = 1.111 m/s²

答案

a = 1.111 m/s²

2.运动学

答案: t = 1.538 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

20 − ½g·t² = 13·t − ½g·t² → t = 20/13 = 1.538 s

答案

t = 1.538 s

3.牛顿定律

答案: F = 343.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 253.2 + 90.4 = 343.6 N

答案

F = 343.6 N

4.牛顿定律

答案: a = 1.015 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 29.43)/14.5 = 1.015 m/s²

答案

a = 1.015 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 17.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 28·cos 55° = 16.06 m/s

t = x/v_x = 15/16.06 = 0.934 s

此时的高度

y = 22.94·0.934 − ½·9.81·0.934² = 17.14 m

答案

y = 17.14 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: v = 44.83 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 35·cos 40° = 26.81 m/s

v_y0 = 35·sin 40° = 22.5 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(22.5² + 2·9.81·40) = 35.93 m/s

落水速度

v = √(26.81² + 35.93²) = 44.83 m/s

答案

v = 44.83 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.功和能

答案: T = 227.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 70°) = 12.91 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·12.91/1 = 227.2 N

答案

T = 227.2 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 227.2 N。

8.功和能

答案: v = 6.754 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(3 − 0.15·4.5) = 114 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.325) = 6.754 m/s

答案

v = 6.754 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.706 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 3.5)/(5 + 3.5)·4 = 0.7059 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 3.5)·4 = 4.706 m/s

答案

v′₂ = 4.706 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 39.53 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·13) = 11.29 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·11.29/800 = 39.53 m/s

答案

v₁ = 39.53 m/s

(142.3 km/h)

11.静水压力

答案: F = 22.07 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1.5 = 22.07 kN

答案

F = 22.07 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.042 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0.25/(2·3) = 2.042 m

答案

y_cp = 2.042 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 253.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(75/50)² = 3.938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 260 + (−6.221) = 253.8 kPa

答案

p₂ = 253.8 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 68.88 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.31 = 38318 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 100/200 = 0.5

v₂ = √(2·38318/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.041 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.97·0.007854·9.041 = 0.06888 m³/s = 68.88 L/s

答案

Q = 68.88 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 389 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 480/4.003 = 119.9 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

体积

V = nRT/P = 119.9·8.314·273.1/700 = 389 L

答案

V = 389 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 2.874 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 483.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/350)·(483.1/288.1) = 2.874 L

答案

V₂ = 2.874 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 47.11 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/573.1 = 47.11 %

答案

η_max = 47.11 %

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 1.284 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 1700 − 544 = 1156 kJ

绝对温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −1700/623.1 = −2.728 kJ/K

ΔS_L = 1156/288.1 = 4.012 kJ/K

S_gen = 4.012 − 2.728 = 1.284 kJ/K

答案

S_gen = 1.284 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f′ = 267.4 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 15)/(343 + 25)

f′ = 267.4 Hz

答案

f′ = 267.4 Hz

20.波、声与光学

答案: θ₁ = 44.98 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·589 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.7068

θ = 44.98°

答案

θ₁ = 44.98°

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