大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 36 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 40 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 40 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 3.2 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5 m/sd = 3.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 40 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 7 kgF = 40 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 29 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 29 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 400 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一辆以 23 m/s 行驶的 500 kg 汽车撞上一辆静止的 600 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 500 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 16 m/s 向东行驶的 2000 kg 汽车与一辆以 21 m/s 向北行驶的 1800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 2000 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 50 mm。入口处的压强比喉部高 60 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 60 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 280 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 280 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

80 g O₂在 200 kPa 和 50 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 80 gM = 32 g/molP = 200 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求Ar在 850 kPa 和 180 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 850 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 500 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 500 °CT_L = 5 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 -10 °C 的热源吸热，向 35 °C 的供暖系统提供 8 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 60%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 35 °CT_L = -10 °Cη_II = 60%Q̇_H = 8 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

观察者以 20 m/s 的速度朝频率为 600 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光通过一条宽 0.15 mm 的单缝。求 2.5 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 600 nma = 0.15 mmL = 2.5 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/5 = 2 s

答案

t = 2 s

2.运动学

答案: h_max = 913.9 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 40·3 = 120 m/s

h₁ = ½·40·3² = 180 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 120²/(2·9.81) = 733.9 m

h_max = 180 + 733.9 = 913.9 m

答案

h_max = 913.9 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3982

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·3.2) = 3.906 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.906/9.81 = 0.3982

答案

μ = 0.3982

4.牛顿定律

答案: a = 1.501 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (40 − 26.49)/9 = 1.501 m/s²

答案

a = 1.501 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 3.641 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8.452²/(2·9.81) = 3.641 m

答案

H = 3.641 m

6.抛体运动

答案: H = 41.43 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 29·sin 45° = 20.51 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 20.51²/(2·9.81) = 21.43 m

离地面的高度

H = 20 + 21.43 = 41.43 m

答案

H = 41.43 m

7.功和能

答案: h = 0.261 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·400·0.08² = 1.28 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.28/4.905 = 0.261 m

答案

h = 0.261 m

8.功和能

答案: x = 11.29 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.2·3.5) = 12.75 J

最大压缩量

½kx² = 12.75 → x = √(2·12.75/2000) = 0.1129 m = 11.29 cm

答案

x = 11.29 cm

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 54.55 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·23/1100 = 10.45 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·500·23² = 132250 J

K_after = ½·1100·10.45² = 60114 J

损失的比例

ΔK/K = 72136/132250 = 54.55 %

答案

ΔK/K = 54.55 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v′ = 13.03 m/s

动量分量

p_x = 2000·16 = 32000 kg·m/s

p_y = 1800·21 = 37800 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 49526/3800 = 13.03 m/s

答案

v′ = 13.03 m/s

11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

12.静水压力

答案: F = 38.63 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·2.25 = 38.63 kN

答案

F = 38.63 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 22.21 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(50/100)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·60000/(1000·(1 − 0.0625))) = 11.31 m/s

v₁ = 2.828 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001963·11.31 = 0.02221 m³/s = 22.21 L/s

答案

Q = 22.21 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 269.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/75)² = 0.8889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 0.8889²)/1000 = −0.2701 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−0.2701) − 9.81 = 269.9 kPa

答案

p₂ = 269.9 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 33.58 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 80/32 = 2.5 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

体积

V = nRT/P = 2.5·8.314·323.1/200 = 33.58 L

答案

V = 33.58 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 9.013 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 850·39.95/(8.314·453.1) = 9.013 kg/m³

答案

ρ = 9.013 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 64.02 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/773.1 = 64.02 %

答案

η_max = 64.02 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 1.947 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 263.1) = 6.848

COP = 0.6·6.848 = 4.109

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 8/4.109 = 1.947 kW

答案

Ẇ = 1.947 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 635 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 20)/(343 − 0)

f′ = 635 Hz

答案

f′ = 635 Hz

20.波、声与光学

答案: w = 20 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·2.5/(0.15 × 10⁻³) = 10 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 20 mm

答案

w = 20 mm

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