大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?12.5

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 45 km/ha = −6 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
a = 40 m/s²

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 40 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求火箭达到的最大高度 hmax。

a = 40 m/s²t1 = 1.5 sg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
箱子v₀ = 5.5 m/sμ = ?

一个箱子以 5.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 3.9 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5.5 m/sd = 3.9 mg = 9.81 m/s²
μ =
4.牛顿定律困难
m1​ = 3.5 kg2.5 kgθ = 20°

倾角为 20° 的斜面上有一个 3.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。 物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 3.5 kgm2 = 2.5 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 30 m/s55°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 30 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 5 mv0​ = 32 m/s65°H = ?

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 32 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 65°h = 5 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.功和能中等
0.15 kgk = 1500 N/mh = ?

一个玩具发射器有一根刚度为 1500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 1500 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²
h = m
8.功和能困难
F = 25 N15°μ = 0.155 kg

一个 5 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 25 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 25 Nθ = 15°μ = 0.15d = 7 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
1 kg3 m/s2 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。

m1 = 1 kgm2 = 2 kgv1 = 3 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
14 m/s11 m/s

一个 0.1 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgvin = 14 m/svout = 11 m/sΔt = 40 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 2.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = 260 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 260 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 40 mmp1 = 260 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
pair​ = 120 kPav = ?d = 20 mmh = 5 m

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 120 kPa。水从水面以下 5 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。

pair = 120 kPa (表压)h = 5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
15.理想气体定律中等
320 g CH₄P = 200 kPaT = 25 °CV = ?

320 g CH₄在 200 kPa 和 25 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 320 gM = 16.04 g/molP = 200 kPaT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的O₂从 200 kPa、2 L、35 °C 变化到 500 kPa 和 50 °C。求新的体积 V2。

P1 = 200 kPaV1 = 2 LT1 = 35 °CP2 = 500 kPaT2 = 50 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 450 °CTL​ = ?EQH​ = 2400 kJQL​ = 907 kJW

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 450 °C 的热源吸收 2400 kJ 热量，放出 907 kJ。求冷源的温度 TL，以 °C 表示。

TH = 450 °CQH = 2400 kJQL = 907 kJ
TL = °C
18.热机和制冷机困难
TH​ = 32 °CTL​ = 2 °CRQ̇H​Q̇L​ = 5 kWẆ = ?

一台冰箱在 32 °C 的厨房中将冷藏室保持在 2 °C，以 5 kW 从冷藏室移走热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 32 °CTL = 2 °CQ̇L = 5 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
L = ?n = 7

一端封闭的管的第 7 次谐波必须为 923 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 7f7 = 923 Hz
L = m
20.波、声与光学困难
SO5 m/sf = 40 kHz

静止的传感器向以 5 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 fb（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.083 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/6 = 2.083 s

答案

t = 2.083 s
2.运动学

答案: hmax = 228.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 40·1.5 = 60 m/s
h₁ = ½·40·1.5² = 45 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 60²/(2·9.81) = 183.5 m
hmax = 45 + 183.5 = 228.5 m

答案

hmax = 228.5 m
3.牛顿定律

答案: μ = 0.3953

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·3.9) = 3.878 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.878/9.81 = 0.3953

答案

μ = 0.3953
4.牛顿定律

答案: a = 1.324 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 24.53 N
m₁·g·sin θ = 11.74 N
μ·m₁·g·cos θ = 4.84 N

系统的加速度

a = (24.53 − 11.74 − 4.84)/6 = 1.324 m/s²

答案

a = 1.324 m/s²
5.抛体运动

答案: x = 86.21 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 30·cos 55° = 17.21 m/s
vy = v0·sin θ = 30·sin 55° = 24.57 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·24.57/9.81 = 5.01 s

水平距离

x = vx·t = 17.21·5.01 = 86.21 m

答案

x = 86.21 m
6.抛体运动

答案: H = 47.87 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 32·sin 65° = 29 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 29²/(2·9.81) = 42.87 m

离地面的高度

H = 5 + 42.87 = 47.87 m

答案

H = 47.87 m
7.功和能

答案: h = 3.262 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m
½kx² = ½·1500·0.08² = 4.8 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N
h = ½kx²/(mg) = 4.8/1.472 = 3.262 m

答案

h = 3.262 m
8.功和能

答案: v = 3.815 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N
mg·sin θ = 12.7 N
μ·mg·cos θ = 7.107 N

功–能关系

½mv² = (25 − 19.8)·7 = 36.39 J
v = √(2·36.39/5) = 3.815 m/s

答案

v = 3.815 m/s
9.动量与碰撞

答案: v′2 = 2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (1 − 2)/(1 + 2)·3 = −1 m/s
v′2 = 2·1/(1 + 2)·3 = 2 m/s

答案

v′2 = 2 m/s
10.动量与碰撞

答案: J = 2.5 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(11 + 14) = 2.5 N·s

答案

J = 2.5 N·s
11.静水压力

答案: F = 14.71 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·1.5 = 14.71 kN

答案

F = 14.71 kN
12.静水压力

答案: F = 101.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
闸门d = 1.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN

答案

F = 101.2 kN
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 161.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(150/40)² = 14.06 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 14.06²)/1000 = −98.38 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 260 + (−98.38) = 161.6 kPa

答案

p2 = 161.6 kPa
14.连续性和伯努利

答案: v = 18.39 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(120000/1000 + 9.81·5)) = 18.39 m/s

答案

v = 18.39 m/s
15.理想气体定律

答案: V = 247.3 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 320/16.04 = 19.95 mol
T = 25 + 273.15 = 298.1 K

体积

V = nRT/P = 19.95·8.314·298.1/200 = 247.3 L

答案

V = 247.3 L
16.理想气体定律

答案: V2 = 0.8389 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 308.1 K, T2 = 323.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(200/500)·(323.1/308.1) = 0.8389 L

答案

V2 = 0.8389 L
17.热机和制冷机

答案: TL = 0.1404 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

热源的热力学温度

TH = 450 + 273.15 = 723.1 K

可逆循环的热量比

TL = TH·QL/QH = 723.1·907/2400 = 273.3 K = 0.1404 °C

答案

TL = 0.1404 °C
18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.5452 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 32 + 273.15 = 305.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 275.1/(305.1 − 275.1) = 9.172

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇L/COP = 5/9.172 = 0.5452 kW

答案

Ẇmin = 0.5452 kW
19.波、声与光学

答案: L = 0.6503 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/923 = 0.3716 m

长度

L = nλ/4 = 7·0.3716/4 = 0.6503 m

答案

L = 0.6503 m
20.波、声与光学

答案: fb = 1183 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 5)/343 = 40583 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 5) = 41183 Hz

拍频

fb = |f″ − f| = 1183 Hz

答案

fb = 1183 Hz

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