大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 700 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 9.5 kg 和 5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 30° 的角度抛出，落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 30°R = 50 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 31 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 31 m/sθ = 30°h = 40 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 7 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 7 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 14 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 3 kgh = 14 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 11 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 30 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 5 m，流量系数为 0.63。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 30 mmh = 5 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 75 mm，同时升高 10 m。截面 1 处压强为 120 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 120 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

90 g N₂在 300 kPa 和 30 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 90 gM = 28.01 g/molP = 300 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的He从 100 kPa、10 L、15 °C 变化到 350 kPa 和 130 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 3.5 kW 的热量使冷库保持在 0 °C，并向 28 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = 0 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 3.5 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 14 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 20 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 14 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.65 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 0.65 m

f₅ = Hz

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 60 cm 的凸面镜前 20 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 20 cmR = 60 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: v = 64.81 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3·700) = 64.81 m/s

答案

v = 64.81 m/s

(233.3 km/h)

2.运动学

答案: t = 3.478 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.478 s

答案

t = 3.478 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.044 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (9.5 − 5)·9.81/(9.5 + 5) = 3.044 m/s²

答案

a = 3.044 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 5.886 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 0)/2.5 = 5.886 m/s²

答案

a = 5.886 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 23.8 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·50/sin 60°) = 23.8 m/s

答案

v₀ = 23.8 m/s

6.抛体运动

答案: α = 50.02 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 31·cos 30° = 26.85 m/s

v_y0 = 31·sin 30° = 15.5 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(15.5² + 2·9.81·40) = 32.02 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 32.02/26.85 → α = 50.02°

答案

α = 50.02°

7.功和能

答案: d = 41.95 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.6·9.81) = 41.95 m

答案

d = 41.95 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: N = 98.1 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7 − 4) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·58.86/2 − 49.05 = 98.1 N

答案

N = 98.1 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v = 333.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.14) = 1.657 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 3)·1.657/0.015 = 333.1 m/s

答案

v = 333.1 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 1380 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(12 + 11) = 13.8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 13.8/0.01 = 1380 N

答案

F_avg = 1380 N

11.静水压力

答案: F = 206 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

答案

F = 206 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.042 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·3 = 60.33 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0.25/(2·3) = 2.042 m

答案

y_cp = 2.042 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 4.411 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.0007069·9.905 = 0.004411 m³/s = 4.411 L/s

答案

Q = 4.411 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 15.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(200/75)² = 3.556 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 3.556²)/1000 = −6.196 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 120 + (−6.196) − 98.1 = 15.7 kPa

答案

p₂ = 15.7 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 26.99 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 90/28.01 = 3.213 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

体积

V = nRT/P = 3.213·8.314·303.1/300 = 26.99 L

答案

V = 26.99 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 3.997 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 403.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/350)·(403.1/288.1) = 3.997 L

答案

V₂ = 3.997 L

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 3.859 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 3.5·301.1/273.1 = 3.859 kW

答案

Q̇_H = 3.859 kW

输入功率：Ẇ = 0.3588 kW。

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.8596 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 14/16.29 = 0.8596 kW

答案

Ẇ_min = 0.8596 kW

19.波、声与光学

答案: f₅ = 1319 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.65/5 = 0.26 m

频率

f = v/λ = 343/0.26 = 1319 Hz

答案

f₅ = 1319 Hz

20.波、声与光学

答案: m = 0.6

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −30 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/20

d_i = −12 cm

放大率

m = −(−12)/20 = 0.6

答案

m = 0.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers