大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 28 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 28 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

质量为 6 kg 和 1 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 1 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 2° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 600 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 2°F_r = 600 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 1 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 6 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 1.5 kgh = 6 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 23 m/sv_out = 10 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 400 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 400 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一根内径 25 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 0.5 m，出口（通大气）低于水面 3.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 25 mmz_C = +0.5 mz₂ = −3.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想气体定律中等

360 g CO₂在 600 kPa 和 90 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 360 gM = 44.01 g/molP = 600 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的He从 250 kPa、10 L、20 °C 变化到 700 kPa 和 80 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 20 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 80 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 225 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。它吸收 1900 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 225 °CT_L = 30 °CQ_H = 1900 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 500 °C 的热源吸收 80 kW 热量，并向 30 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -15 °C 的冷冻室排出热量，也向 30 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 500 °CT₀ = 30 °CT_L = -15 °CQ̇_H = 80 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 50 cmf = 8 cm

m =

20.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光垂直照射在每毫米 800 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ₂。

N = 800 mm⁻¹λ = 550 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 104.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·3) = 104.2 m

答案

s = 104.2 m

2.运动学

答案: s = 857.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·9 = 22.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·9² = 101.3 m

s₂ = 22.5·28 = 630 m

s₃ = 22.5²/(2·2) = 126.6 m

总距离

s = 101.3 + 630 + 126.6 = 857.8 m

答案

s = 857.8 m

3.牛顿定律

答案: T = 16.82 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (6 − 1)·9.81/(6 + 1) = 7.007 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 1·(9.81 + 7.007) = 16.82 N

答案

T = 16.82 N

4.牛顿定律

答案: a = 3.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0)/10 = 3.433 m/s²

答案

a = 3.433 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 2.039 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 30° = 17.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 30° = 10 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·10/9.81 = 2.039 s

答案

t = 2.039 s

6.抛体运动

答案: t = 2.312 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9.177 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 9.177·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.177 + √(84.22 + 98.1))/9.81 = 2.312 s

答案

t = 2.312 s

7.功和能

答案: P = 19.27 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 2° = 684.7 N

F = 684.7 + 600 = 1285 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1285·15 = 19271 W = 19.27 kW

答案

P = 19.27 kW

8.功和能

答案: x = 14.01 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(1 − 0.25·1.5) = 24.53 J

最大压缩量

½kx² = 24.53 → x = √(2·24.53/2500) = 0.1401 m = 14.01 cm

答案

x = 14.01 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 326.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.06) = 1.085 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1.5)·1.085/0.005 = 326.6 m/s

答案

v = 326.6 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 3.3 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(10 + 23) = 3.3 N·s

答案

J = 3.3 N·s

11.静水压力

答案: F = 165.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN

答案

F = 165.5 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.857 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.75·3 = 64.89 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 0.5625/(1.75·3) = 1.857 m

答案

y_cp = 1.857 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 395.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/40)² = 3.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 3.125²)/1000 = −4.758 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−4.758) = 395.2 kPa

答案

p₂ = 395.2 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p_C = 62.06 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(8.287²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 39.24 = 62.06 kPa

答案

p_C = 62.06 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: V = 41.16 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 360/44.01 = 8.18 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体积

V = nRT/P = 8.18·8.314·363.1/600 = 41.16 L

答案

V = 41.16 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 4.302 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 353.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/700)·(353.1/293.1) = 4.302 L

答案

V₂ = 4.302 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 743.8 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/498.1 = 39.14 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.3914·1900 = 743.8 kJ

答案

W_max = 743.8 kJ

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 279 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -15 + 273.15 = 258.1 K

热机的功

η = 1 − 303.1/773.1 = 0.6079

Ẇ = 0.6079·80 = 48.63 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 258.1/(303.1 − 258.1) = 5.737

Q̇_L = 5.737·48.63 = 279 kW

答案

Q̇_L = 279 kW

19.波、声与光学

答案: m = −0.1905

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/50

d_i = 9.524 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −9.524/50 = −0.1905

答案

m = −0.1905

20.波、声与光学

答案: θ₂ = 61.64 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·550 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.88

θ = 61.64°

答案

θ₂ = 61.64°

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