大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 15 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3.5 m/sθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 22 m/s、与水平方向成 60° 的角度朝 17 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 22 m/sθ = 60°x = 17 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 18 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 65°h = 50 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 14 m/sv_out = 15 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 6 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 6 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 7 m。截面 1 处压强为 360 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 360 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 50 g Ar，温度为 30 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 50 gM = 39.95 g/molV = 20 LT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 200 kPa、5 L、40 °C 变化到 700 kPa 和 100 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 40 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 225 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 225 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 1000 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 35 °C 的热源放热。两台热机的热效率相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 1000 °CT_L = 35 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

对于入射角大于 48.8° 的每一个角度，透明块内的光在与水（n = 1.33）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 48.8°n₂ = 1.33

n₁ =

20.波、声与光学困难

一个每毫米 600 条刻线的光栅，在偏离直进方向 21.1° 处出现某条谱线的第 1 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 600 mm⁻¹θ₁ = 21.1°m = 1

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 22.32 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·3.5) = 22.32 m

答案

s = 22.32 m

2.运动学

答案: y = 13.23 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

15 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 15/25 = 0.6 s

相遇高度

y = 25·0.6 − ½·9.81·0.6² = 13.23 m

答案

y = 13.23 m

3.牛顿定律

答案: F = 39.04 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 31.53 + 7.515 = 39.04 N

答案

F = 39.04 N

4.牛顿定律

答案: d = 1.293 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.15·cos 20°) = 4.738 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3.5²/(2·4.738) = 1.293 m

答案

d = 1.293 m

5.抛体运动

答案: y = 17.73 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 22·cos 60° = 11 m/s

t = x/v_x = 17/11 = 1.545 s

此时的高度

y = 19.05·1.545 − ½·9.81·1.545² = 17.73 m

答案

y = 17.73 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: H = 63.56 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 18·sin 65° = 16.31 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 16.31²/(2·9.81) = 13.56 m

离地面的高度

H = 50 + 13.56 = 63.56 m

答案

H = 63.56 m

7.功和能

答案: d = 35.96 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.7·9.81) = 35.96 m

答案

d = 35.96 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: v = 8.578 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.1·2.5) = 18.39 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.75) = 8.578 m/s

答案

v = 8.578 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 1.5)/(0.5 + 1.5)·5 = −2.5 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1.5)·5 = 2.5 m/s

答案

v′₁ = −2.5 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 261 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(15 + 14) = 13.05 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 13.05/0.05 = 261 N

答案

F_avg = 261 N

11.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.524 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·2 = 70.39 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.1667/(3.5·2) = 3.524 m

答案

y_cp = 3.524 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 3.464 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·6000/1000) = 3.464 m/s

答案

v = 3.464 m/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 290.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−0.5078) − 68.67 = 290.8 kPa

答案

p₂ = 290.8 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 157.7 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 50/39.95 = 1.252 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

压强

P = nRT/V = 1.252·8.314·303.1/0.02 = 157.7 kPa

答案

P = 157.7 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.702 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 373.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/700)·(373.1/313.1) = 1.702 L

答案

V₂ = 1.702 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 39.14 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/498.1 = 39.14 %

答案

η_max = 39.14 %

18.热机和制冷机

答案: T_m = 353.2 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

效率相等

由 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m 得 T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1273·308.1) = 626.4 K = 353.2 °C

答案

T_m = 353.2 °C

19.波、声与光学

答案: n₁ = 1.768

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.33/0.7524 = 1.768

答案

n₁ = 1.768

20.波、声与光学

答案: λ = 600 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 1.667 × 10⁻⁶·sin 21.1°/1 = 600 nm

答案

λ = 600 nm

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