大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 10 kg 和 6 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 2 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 7.5 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 30 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 30 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 1.5 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 4 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1900 kgd = 4 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 110 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 110 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 320 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 320 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 100 g O₂，温度为 100 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 100 gM = 32 g/molV = 50 LT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求Ar在 500 kPa 和 40 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 500 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 200 °C 的高温热源和 20 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 200 °CT_L = 20 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -18 °C，以 4.5 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 28 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 4.5 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 18 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 18 cmf = 8 cm

m =

20.波、声与光学困难

波长为 486 nm 的光垂直照射在每毫米 100 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 100 mm⁻¹λ = 486 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 39.06 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·8) = 39.06 m

答案

s = 39.06 m

2.运动学

答案: t = 3.103 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.103 s

答案

t = 3.103 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.453 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (10 − 6)·9.81/(10 + 6) = 2.453 m/s²

答案

a = 2.453 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.391 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 11.25 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.607 N

系统的加速度

a = (73.58 − 11.25 − 1.607)/9.5 = 6.391 m/s²

答案

a = 6.391 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 55.17 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 35° = 19.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 35° = 13.77 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·13.77/9.81 = 2.806 s

水平距离

x = v_x·t = 19.66·2.806 = 55.17 m

答案

x = 55.17 m

6.抛体运动

答案: x = 94.96 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 20° = 27.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 20° = 9.919 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 9.919·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.919 + √(98.38 + 490.5))/9.81 = 3.485 s

水平距离

x = v_x·t = 27.25·3.485 = 94.96 m

答案

x = 94.96 m

7.功和能

答案: d = 5.056 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.7·9.81) = 5.056 m

答案

d = 5.056 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: v = 4.75 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(1.5 − 0.1·3.5) = 28.2 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.15) = 4.75 m/s

答案

v = 4.75 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 1)/(0.5 + 1)·6 = −2 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1)·6 = 4 m/s

答案

v′₁ = −2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 12.88 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·4) = 6.264 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3700·6.264/1800 = 12.88 m/s

答案

v₁ = 12.88 m/s

(46.35 km/h)

11.静水压力

答案: F = 67.44 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.5 = 67.44 kN

答案

F = 67.44 kN

12.静水压力

答案: F = 80.93 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·3 = 80.93 kN

答案

F = 80.93 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 85.22 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/75)² = 7.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 7.111²)/1000 = −24.78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−24.78) = 85.22 kPa

答案

p₂ = 85.22 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 285.1 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 4²)/1000 = −5.469 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 320 + (−5.469) − 29.43 = 285.1 kPa

答案

p₂ = 285.1 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 193.9 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 100/32 = 3.125 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

压强

P = nRT/V = 3.125·8.314·373.1/0.05 = 193.9 kPa

答案

P = 193.9 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 7.672 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

密度

ρ = 500·39.95/(8.314·313.1) = 7.672 kg/m³

答案

ρ = 7.672 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 38.04 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 200 + 273.15 = 473.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/473.1 = 38.04 %

答案

η_max = 38.04 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 5.547

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(301.1 − 255.1) = 5.547

答案

COP_max = 5.547

19.波、声与光学

答案: m = −0.8

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/18

d_i = 14.4 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −14.4/18 = −0.8

答案

m = −0.8

20.波、声与光学

答案: θ₃ = 8.384 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·486 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.1458

θ = 8.384°

答案

θ₃ = 8.384°

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