大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 280 km/h 的速度，可用跑道长 1900 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 10.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 10.5 m/sθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 34 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 14 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 18 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 25°μ = 0.25d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 6 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.9 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4 kgL = 1.9 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 170 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 50 mmp₁ = 170 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 170 kPa。水从水面以下 4 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 170 kPa (表压)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

390 g CH₄在 750 kPa 和 40 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 390 gM = 16.04 g/molP = 750 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 400 kPa、10 L、20 °C 变化到 350 kPa 和 100 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 400 kPaV₁ = 10 LT₁ = 20 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 525 °C 的热源吸收 2000 kJ 热量，放出 697 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 525 °CQ_H = 2000 kJQ_L = 697 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 0 °C 时将房屋保持在 22 °C，向房屋提供 8 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 8 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端开口的管的第 2 次谐波必须为 343 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 2f₂ = 343 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 60 cm 的凸面镜前 6 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 6 cmR = 60 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.592 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·1900) = 1.592 m/s²

答案

a = 1.592 m/s²

2.运动学

答案: t = 3.837 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·30))/9.81 = 3.837 s

答案

t = 3.837 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.479 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答案

a = 1.479 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 6.858 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.3·cos 35°) = 8.038 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 10.5²/(2·8.038) = 6.858 m

答案

d = 6.858 m

5.抛体运动

答案: H = 39.54 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 55° = 19.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 55° = 27.85 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 27.85²/(2·9.81) = 39.54 m

答案

H = 39.54 m

6.抛体运动

答案: t = 2.566 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 20° = 13.16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 20° = 4.788 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 4.788·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.788 + √(22.93 + 392.4))/9.81 = 2.566 s

答案

t = 2.566 s

7.功和能

答案: W_f = 20 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9063 = 4.445 N

F = μN = 0.25·4.445 = 1.111 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.111·18 = 20 J

答案

W_f = 20 J

8.功和能

答案: v = 6.264 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 4) = 39.24 m²/s²

v = 6.264 m/s

答案

v = 6.264 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.286 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 4.5)/(2.5 + 4.5)·6 = −1.714 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 4.5)·6 = 4.286 m/s

答案

v′₂ = 4.286 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 601.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 20°) = 0.1146 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1146) = 1.499 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.01·1.499/0.01 = 601.3 m/s

答案

v = 601.3 m/s

11.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·1 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.519 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·3 = 166.9 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 0.25/(4.5·3) = 4.519 m

答案

y_cp = 4.519 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 138.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(200/50)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 170 + (−31.88) = 138.1 kPa

答案

p₂ = 138.1 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 6.427 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(170000/1000 + 9.81·4)) = 20.46 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·20.46 = 0.006427 m³/s = 6.427 L/s

答案

Q = 6.427 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 84.4 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 390/16.04 = 24.31 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

体积

V = nRT/P = 24.31·8.314·313.1/750 = 84.4 L

答案

V = 84.4 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 14.55 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 373.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(400/350)·(373.1/293.1) = 14.55 L

答案

V₂ = 14.55 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 5.005 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 525 + 273.15 = 798.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 798.1·697/2000 = 278.2 K = 5.005 °C

答案

T_L = 5.005 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.5963 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 8/13.42 = 0.5963 kW

答案

Ẇ_min = 0.5963 kW

19.波、声与光学

答案: L = 1 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/343 = 1 m

长度

L = nλ/2 = 2·1/2 = 1 m

答案

L = 1 m

20.波、声与光学

答案: m = 0.8333

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −30 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/6

d_i = −5 cm

放大率

m = −(−5)/6 = 0.8333

答案

m = 0.8333

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