大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 54 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 54 km/ht_r = 1 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 17 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 40 mv_0B = 17 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 120 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 120 Nθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 105 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgF = 105 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 25° 的角度抛出，落在 125 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 25°R = 125 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 26 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 11 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.25d = 11 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 5 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 60 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 10 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 60 Nθ = 35°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 7 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 4 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1000 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 12.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1000 kgm₂ = 1900 kgd = 12.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 400 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 400 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 100 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 270 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 270 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 300 g He，温度为 95 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 300 gM = 4.003 g/molV = 20 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 950 kPa 和 90 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 950 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 700 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 700 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 7 °C 的热源吸热，向 55 °C 的供暖系统提供 19.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 60%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 55 °CT_L = 7 °Cη_II = 60%Q̇_H = 19.5 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.8 m。声速为 343 m/s。求其第 2 次谐波的频率 f₂。

v = 343 m/sn = 2L = 0.8 m

f₂ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 486 nm 的光垂直照射在每毫米 500 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 500 mm⁻¹λ = 486 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 30 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 15·1 = 15 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·7.5) = 15 m

合计

d = 15 + 15 = 30 m

答案

d = 30 m

2.运动学

答案: t = 2.353 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 40/17 = 2.353 s

答案

t = 2.353 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.635 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 120·sin 15° = 312.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 115.9 − 93.69

a = 22.22/35 = 0.635 m/s²

答案

a = 0.635 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 35 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 13.24)/9 = 10.2 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(10.2 + 1.472) = 35 N

答案

T = 35 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 40.01 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·125/sin 50°) = 40.01 m/s

答案

v₀ = 40.01 m/s

6.抛体运动

答案: t = 3.54 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 20° = 24.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 20° = 8.893 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 8.893·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.893 + √(79.08 + 588.6))/9.81 = 3.54 s

答案

t = 3.54 s

7.功和能

答案: W_f = 110.5 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.8192 = 40.18 N

F = μN = 0.25·40.18 = 10.04 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 10.04·11 = 110.5 J

答案

W_f = 110.5 J

8.功和能

答案: v = 8.902 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 28.13 N

μ·mg·cos θ = 12.05 N

功–能关系

½mv² = (60 − 40.19)·10 = 198.1 J

v = √(2·198.1/5) = 8.902 m/s

答案

v = 8.902 m/s

9.动量与碰撞

答案: v = 235.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 4)·1.172/0.02 = 235.6 m/s

答案

v = 235.6 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 32.11 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·12.5) = 11.07 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·11.07/1000 = 32.11 m/s

答案

v₁ = 32.11 m/s

(115.6 km/h)

11.静水压力

答案: F = 49.05 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答案

F = 49.05 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.533 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.25/(2.5·3) = 2.533 m

答案

y_cp = 2.533 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 394.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/40)² = 3.516 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 3.516²)/1000 = −5.68 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−5.68) = 394.3 kPa

答案

p₂ = 394.3 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 168.6 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(200/100)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 7²)/1000 = −22.97 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−22.97) − 78.48 = 168.6 kPa

答案

p₂ = 168.6 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 11469 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 300/4.003 = 74.94 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

压强

P = nRT/V = 74.94·8.314·368.1/0.02 = 11469 kPa

答案

P = 11469 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 5.047 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

密度

ρ = 950·16.04/(8.314·363.1) = 5.047 kg/m³

答案

ρ = 5.047 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 70.39 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/973.1 = 70.39 %

答案

η_max = 70.39 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 4.754 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 55 + 273.15 = 328.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 328.1/(328.1 − 280.1) = 6.836

COP = 0.6·6.836 = 4.102

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 19.5/4.102 = 4.754 kW

答案

Ẇ = 4.754 kW

19.波、声与光学

答案: f₂ = 428.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.8/2 = 0.8 m

频率

f = v/λ = 343/0.8 = 428.8 Hz

答案

f₂ = 428.8 Hz

20.波、声与光学

答案: θ₃ = 46.8 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·486 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0.729

θ = 46.8°

答案

θ₃ = 46.8°

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