大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)5.556 s16.67

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −3 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 10 m/s25 m

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 10 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
8 kg0.5 kg

质量为 8 kg 和 0.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 8 kgm2 = 0.5 kgg = 9.81 m/s²
T = N
4.牛顿定律困难
m1​ = 5 kg2.5 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 5 kgm2 = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
43 my = ?v0​ = 38 m/s40°

一个球从水平地面以 38 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 43 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 38 m/sθ = 40°x = 43 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
h = 45 mv0​ = 29 m/s15°x = ?

一个球 从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 29 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
35°d = 2 mμ = 0.2

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 2 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.2d = 2 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
2 kg1 kgμ = 0.4d = 0.5 m

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.4）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 1 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 0.5 m 后两物块的速度 v。

m1 = 2 kgm2 = 1 kgμ = 0.4d = 0.5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
900 kg6 m/s1300 kg

一辆以 6 m/s 行驶的 900 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 900 kgv1 = 6 m/sm2 = 1300 kgv2 = 0
ΔK = J
10.动量与碰撞困难
16 m/s13 m/s

一个 0.6 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.6 kgvin = 16 m/svout = 13 m/sΔt = 10 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 3 mH = 1.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 75 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 150 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 150 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 150 mm, p1​ = 290 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 9 m

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 9 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 290 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
480 g CO₂V = 20 LT = 30 °CP = ?

容积为 20 L 的容器中装有 480 g CO₂，温度为 30 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 480 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的CO₂从 200 kPa、20 L、20 °C 变化到 300 kPa 和 100 °C。求新的体积 V2。

P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 20 °CP2 = 300 kPaT2 = 100 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 800 °CTL​ = 15 °CEQH​ = 1500 kJQL​W = ?

一台热机在 800 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 1500 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 800 °CTL = 15 °CQH = 1500 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 20 °CTL​ = 0 °CHPQ̇H​ = 15 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵从 0 °C 的热源吸热，向 20 °C 的供暖系统提供 15 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 40%。求它消耗的电功率 Ẇ。

TH = 20 °CTL = 0 °CηII = 40%Q̇H = 15 kW
Ẇ = kW
19.波、声与光学中等
48.8°90°n1​ = ?火石玻璃, n2​ = 1.62

对于入射角大于 48.8° 的每一个角度，透明块内的光在与火石玻璃（n = 1.62）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n1。

θc = 48.8°n2 = 1.62
n1 =
20.波、声与光学困难
f1​ = 12 cmf2​ = 5 cm15 cm40 cm

两个薄透镜共轴，相距 40 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 15 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 12 cmf2 = 5 cms = 40 cmdo = 15 cm
di2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 46.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·3) = 46.3 m

答案

s = 46.3 m
2.运动学

答案: hmax = 30.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

hmax = 25 + 5.097 = 30.1 m

答案

hmax = 30.1 m
3.牛顿定律

答案: T = 9.233 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 0.5)·9.81/(8 + 0.5) = 8.656 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m2·g = m2·a → T = 0.5·(9.81 + 8.656) = 9.233 N

答案

T = 9.233 N
4.牛顿定律

答案: T = 19.62 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 9.81)/7.5 = 1.962 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 5·1.962 + 9.81 = 19.62 N

答案

T = 19.62 N
5.抛体运动

答案: y = 25.38 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

vx = 38·cos 40° = 29.11 m/s
t = x/vx = 43/29.11 = 1.477 s

此时的高度

y = 24.43·1.477 − ½·9.81·1.477² = 25.38 m

答案

y = 25.38 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 108.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 29·cos 15° = 28.01 m/s
vy = v0·sin θ = 29·sin 15° = 7.506 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 7.506·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (7.506 + √(56.34 + 882.9))/9.81 = 3.889 s

水平距离

x = vx·t = 28.01·3.889 = 108.9 m

答案

x = 108.9 m
7.功和能

答案: v = 4.01 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·2·(0.5736 − 0.2·0.8192)) = 4.01 m/s

答案

v = 4.01 m/s
8.功和能

答案: v = 0.8087 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 9.81·0.5 = 4.905 J
μ·m₁g·d = 0.4·19.62·0.5 = 3.924 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 0.981 → v = √(2·0.981/3) = 0.8087 m/s

答案

v = 0.8087 m/s
9.动量与碰撞

答案: ΔK = 9573 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 900·6/2200 = 2.455 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·900·6² = 16200 J
Kafter = ½·2200·2.455² = 6627 J

损失的能量

ΔK = 16200 − 6627 = 9573 J

答案

ΔK = 9573 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: Favg = 1740 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(13 + 16) = 17.4 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 17.4/0.01 = 1740 N

答案

Favg = 1740 N
11.静水压力

答案: F = 82.77 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
闸门d = 3 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·2.25 = 82.77 kN

答案

F = 82.77 kN
12.静水压力

答案: ycp = 4.373 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.25·7.5 = 394 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.25 + 3.906/(4.25·7.5) = 4.373 m

答案

ycp = 4.373 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 141.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 150 + (−8.125) = 141.9 kPa

答案

p2 = 141.9 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 189 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(150/100)² = 5.625 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 290 + (−12.7) − 88.29 = 189 kPa

答案

p2 = 189 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 1374 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 480/44.01 = 10.91 mol
T = 30 + 273.15 = 303.1 K

压强

P = nRT/V = 10.91·8.314·303.1/0.02 = 1374 kPa

答案

P = 1374 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 16.97 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 293.1 K, T2 = 373.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/300)·(373.1/293.1) = 16.97 L

答案

V2 = 16.97 L
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 1097 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 800 + 273.15 = 1073 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/1073 = 73.15 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.7315·1500 = 1097 kJ

答案

Wmax = 1097 kJ
18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 2.558 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = 0 + 273.15 = 273.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COPmax = 293.1/(293.1 − 273.1) = 14.66
COP = 0.4·14.66 = 5.863

输入功率

Ẇ = Q̇H/COP = 15/5.863 = 2.558 kW

答案

Ẇ = 2.558 kW
19.波、声与光学

答案: n1 = 2.153

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.62/0.7524 = 2.153

答案

n1 = 2.153
20.波、声与光学

答案: di2 = 4 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/12 − 1/15 → di1 = 60 cm

透镜 2 的物

do2 = 40 − 60 = −20 cm

最终的像

1/di2 = 1/5 − 1/(−20) → di2 = 4 cm

答案

di2 = 4 cm

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