大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 54 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 8.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 18 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 8.5 m/sd = 18 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 10 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 10 m/sθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 15° 的角度抛出，落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 15°R = 45 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 18 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 45°μ = 0.3d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 4 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 0.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 23 m/s 行驶的 1000 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1000 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 16 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。宽段压强为 220 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 250 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 250 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 30 g Ar，温度为 95 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 30 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 300 kPa 和 60 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 300 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 725 °C 的热源吸收 1600 kJ 热量，放出 454 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 725 °CQ_H = 1600 kJQ_L = 454 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 30 °C 的厨房中将冷藏室保持在 5 °C，以 3 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 30 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 3 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

光在冕牌玻璃（n = 1.50）中向与甘油（n = 1.47）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.50n₂ = 1.47

θ_c = °

20.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 20 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/6 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

2.运动学

答案: t = 2.824 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·25))/9.81 = 2.824 s

答案

t = 2.824 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2046

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 8.5²/(2·18) = 2.007 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.007/9.81 = 0.2046

答案

μ = 0.2046

4.牛顿定律

答案: d = 6.221 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.3·cos 35°) = 8.038 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·8.038) = 6.221 m

答案

d = 6.221 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 29.71 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·45/sin 30°) = 29.71 m/s

答案

v₀ = 29.71 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.498 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30.07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10.94 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 10.94·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.94 + √(119.8 + 981))/9.81 = 4.498 s

答案

t = 4.498 s

7.功和能

答案: W_f = 93.65 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.7071 = 17.34 N

F = μN = 0.3·17.34 = 5.203 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.203·18 = 93.65 J

答案

W_f = 93.65 J

8.功和能

答案: v = 2.358 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 39.24·0.5 = 19.62 J

μ·m₁g·d = 0.3·19.62·0.5 = 2.943 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 16.68 → v = √(2·16.68/6) = 2.358 m/s

答案

v = 2.358 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 56.52 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·23/2300 = 10 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1000·23² = 264500 J

K_after = ½·2300·10² = 115000 J

损失的比例

ΔK/K = 149500/264500 = 56.52 %

答案

ΔK/K = 56.52 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: J = 17.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(16 + 16) = 17.6 N·s

答案

J = 17.6 N·s

11.静水压力

答案: F = 71.74 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN

答案

F = 71.74 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.722 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·3 = 38.85 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 1/(1.5·3) = 1.722 m

答案

y_cp = 1.722 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 211.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/100)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−8.125) = 211.9 kPa

答案

p₂ = 211.9 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 217.3 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/75)² = 3.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.111²)/1000 = −3.308 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 250 + (−3.308) − 29.43 = 217.3 kPa

答案

p₂ = 217.3 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 45.97 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 30/39.95 = 0.7509 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

压强

P = nRT/V = 0.7509·8.314·368.1/0.05 = 45.97 kPa

答案

P = 45.97 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.4336 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 300·4.003/(8.314·333.1) = 0.4336 kg/m³

答案

ρ = 0.4336 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 10.08 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 998.1·454/1600 = 283.2 K = 10.08 °C

答案

T_L = 10.08 °C

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 11.13

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278.1/(303.1 − 278.1) = 11.13

答案

COP_max = 11.13

19.波、声与光学

答案: θ_c = 78.52 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/1.50 = 0.98

临界角

θc = arcsin(0.98) = 78.52°

答案

θ_c = 78.52°

20.波、声与光学

答案: f″ = 44954 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 20)/343 = 42332 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 20) = 44954 Hz

答案

f″ = 44954 Hz

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