大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 1.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1400 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 1.75 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 15 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 15 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 23 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 23 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 9 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.15d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 3 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 1 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgμ = 0.25d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 10 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 5 kgh = 10 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 25 m/s 向东行驶的 1700 kg 汽车与一辆以 23 m/s 向北行驶的 1900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1700 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 23 m/s (N)

θ = °

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 25 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 1 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 25 mmh = 1 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 100 mm，表压为 100 kPa。喷嘴出口直径为 30 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmp₁ = 100 kPa (表压)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

250 g CH₄在 250 kPa 和 55 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 250 gM = 16.04 g/molP = 250 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求O₂在 300 kPa 和 30 °C 下的密度 ρ。

M = 32 g/molP = 300 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 400 °C 的热源吸收 4200 kJ 热量，放出 1829 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 400 °CQ_H = 4200 kJQ_L = 1829 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 0 °C 的热源吸热，向 45 °C 的供暖系统提供 11.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 50%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 45 °CT_L = 0 °Cη_II = 50%Q̇_H = 11.5 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.6 m；波在其上以 180 m/s 传播。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 180 m/sn = 4L = 0.6 m

f₄ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光照射到相距 0.25 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y₁。

λ = 633 nmd = 0.25 mmL = 2 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 70 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·1.75·1400) = 70 m/s

答案

v = 70 m/s

(252 km/h)

2.运动学

答案: t = 2.809 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.809 s

答案

t = 2.809 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.618 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答案

a = 3.618 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 7.038 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9²/(2·5.755) = 7.038 m

答案

d = 7.038 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 12.22 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·15/sin 100°) = 12.22 m/s

答案

v₀ = 12.22 m/s

6.抛体运动

答案: H = 58.48 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 23·sin 45° = 16.26 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 16.26²/(2·9.81) = 13.48 m

离地面的高度

H = 45 + 13.48 = 58.48 m

答案

H = 58.48 m

7.功和能

答案: v = 5.959 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.342 − 0.15·0.9397)) = 5.959 m/s

答案

v = 5.959 m/s

8.功和能

答案: v = 1.356 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 9.81·1.5 = 14.71 J

μ·m₁g·d = 0.25·29.43·1.5 = 11.04 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 3.679 → v = √(2·3.679/4) = 1.356 m/s

答案

v = 1.356 m/s

9.动量与碰撞

答案: v = 1402 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.1) = 1.401 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 5)·1.401/0.005 = 1402 m/s

答案

v = 1402 m/s

10.动量与碰撞

答案: θ = 45.8 °

动量分量

p_x = 1700·25 = 42500 kg·m/s

p_y = 1900·23 = 43700 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.028 → θ = 45.8°

答案

θ = 45.8°

11.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.533 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·1.5 = 46.35 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.125/(2.5·1.5) = 2.533 m

答案

y_cp = 2.533 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 1.326 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.0004909·4.429 = 0.001326 m³/s = 1.326 L/s

答案

Q = 1.326 L/s

14.连续性和伯努利

答案: H = 10.28 m

出口流速

β = 30/100 = 0.3

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0.9919)) = 14.2 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 14.2²/(2·9.81) = 10.28 m

答案

H = 10.28 m

15.理想气体定律

答案: V = 170.1 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 250/16.04 = 15.59 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体积

V = nRT/P = 15.59·8.314·328.1/250 = 170.1 L

答案

V = 170.1 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 3.809 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 300·32/(8.314·303.1) = 3.809 kg/m³

答案

ρ = 3.809 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 19.99 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 673.1·1829/4200 = 293.1 K = 19.99 °C

答案

T_L = 19.99 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 3.253 kW

绝对温度

T_H = 45 + 273.15 = 318.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 318.1/(318.1 − 273.1) = 7.07

COP = 0.5·7.07 = 3.535

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 11.5/3.535 = 3.253 kW

答案

Ẇ = 3.253 kW

19.波、声与光学

答案: f₄ = 600 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.6/4 = 0.3 m

频率

f = v/λ = 180/0.3 = 600 Hz

答案

f₄ = 600 Hz

20.波、声与光学

答案: y₁ = 5.064 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·2/(0.25 × 10⁻³) = 5.064 mm

第 1 条条纹

y₁ = 1·5.064 = 5.064 mm

答案

y₁ = 5.064 mm

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