大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1.5 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 19 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的雪橇被一根与水平方向成 20° 向上的绳子以 30 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 10 kgF = 30 Nθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5 m/sθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 32 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 60°h_roof = 8 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 2 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 25°μ = 0.2d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 1.5 mL = 4.5 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一个以 10 m/s 水平运动的 10 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。6 kg 的碎片以 29 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 10 kgu = 10 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 29 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 14.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1000 kgd = 14.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 60 mm。入口处的压强比喉部高 24 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 24 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 400 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 400 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

330 g O₂在 600 kPa 和 50 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 330 gM = 32 g/molP = 600 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的CO₂从 300 kPa、20 L、10 °C 变化到 550 kPa 和 190 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 10 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 700 °C 的热源吸热，向 35 °C 的环境放热。其实际热效率为 51%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 700 °CT_L = 35 °Cη = 51%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 1150 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 40 °C 的热源放热。两台热机的热效率相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 1150 °CT_L = 40 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

一端封闭的管的基频（一次谐波）必须为 86 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 1f₁ = 86 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 15 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = 8 cm。一个物体位于透镜 1 前 15 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 12 cmf₂ = 8 cms = 15 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 32.89 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.5 = 20.83 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·8) = 12.06 m

合计

d = 20.83 + 12.06 = 32.89 m

答案

d = 32.89 m

2.运动学

答案: t = 4.343 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.343 s

答案

t = 4.343 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.062 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 98.1 − 30·sin 20° = 87.84 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 28.19 − 17.57

a = 10.62/10 = 1.062 m/s²

答案

a = 1.062 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 2.819 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.2·cos 15°) = 4.434 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·4.434) = 2.819 m

答案

d = 2.819 m

5.抛体运动

答案: x = 75.75 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 70° = 11.63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 70° = 31.95 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·31.95/9.81 = 6.514 s

水平距离

x = v_x·t = 11.63·6.514 = 75.75 m

答案

x = 75.75 m

6.抛体运动

答案: x = 85.52 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 16 m/s, v_y = 27.71 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

8 = 27.71·t − 4.905·t²

t = (27.71 + √(27.71² − 2·9.81·8))/9.81 = 5.345 s

水平距离

x = v_x·t = 16·5.345 = 85.52 m

答案

x = 85.52 m

7.功和能

答案: W_f = 7.113 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9063 = 17.78 N

F = μN = 0.2·17.78 = 3.556 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.556·2 = 7.113 J

答案

W_f = 7.113 J

8.功和能

答案: x = 8.996 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.15·4.5) = 8.093 J

最大压缩量

½kx² = 8.093 → x = √(2·8.093/2000) = 0.08996 m = 8.996 cm

答案

x = 8.996 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −18.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 10·10 = 100 kg·m/s

碰撞后的动量

100 = 6·29 + 4·v′₂

v′₂ = (100 − 174)/4 = −18.5 m/s

答案

v′₂ = −18.5 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 26.78 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·14.5) = 14.61 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·14.61/1200 = 26.78 m/s

答案

v₁ = 26.78 m/s

(96.41 km/h)

11.静水压力

答案: F = 39.24 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

答案

F = 39.24 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.042 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2·2 = 49.44 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0.1667/(2·2) = 2.042 m

答案

y_cp = 2.042 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 21 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(60/100)² = 0.36·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·24000/(1000·(1 − 0.1296))) = 7.426 m/s

v₁ = 2.673 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.002827·7.426 = 0.021 m³/s = 21 L/s

答案

Q = 21 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 370 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−0.6076) − 29.43 = 370 kPa

答案

p₂ = 370 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 46.18 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 330/32 = 10.31 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

体积

V = nRT/P = 10.31·8.314·323.1/600 = 46.18 L

答案

V = 46.18 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 17.84 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 283.1 K, T₂ = 463.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/550)·(463.1/283.1) = 17.84 L

答案

V₂ = 17.84 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 74.63 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 308.1/973.1 = 68.33 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 51/68.33 = 74.63 %

答案

η_II = 74.63 %

18.热机和制冷机

答案: T_m = 394.4 °C

绝对温度

T_H = 1150 + 273.15 = 1423 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

效率相等

由 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m 得 T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1423·313.1) = 667.6 K = 394.4 °C

答案

T_m = 394.4 °C

19.波、声与光学

答案: L = 0.9971 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/86 = 3.988 m

长度

L = nλ/4 = 1·3.988/4 = 0.9971 m

答案

L = 0.9971 m

20.波、声与光学

答案: d_i2 = 6.792 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/12 − 1/15 → d_i1 = 60 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 15 − 60 = −45 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/8 − 1/(−45) → d_i2 = 6.792 cm

答案

d_i2 = 6.792 cm

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