大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 200 km/h 的速度，可用跑道长 1600 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 10 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 9 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 41 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 9 m/sd = 41 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3 m/sθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 20 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.4d = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 11 m/s 行驶的 700 kg 汽车撞上一辆静止的 1500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 700 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 1700 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 9.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 1700 kgd = 9.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水以 24 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 150 mm。窄段的压强为 160 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 24 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 160 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 10 m。截面 1 处压强为 330 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 330 kPav₁ = 1 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

500 g Ar在 400 kPa 和 15 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 500 gM = 39.95 g/molP = 400 kPaT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 400 kPa、20 L、30 °C 变化到 400 kPa 和 50 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 400 kPaV₁ = 20 LT₁ = 30 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 50 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 525 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 525 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -18 °C，以 2 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 35 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 2 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 2 m 处的声级为 75 dB。忽略吸收和反射，求 10 m 处的声级 β₂。

β₁ = 75 dBr₁ = 2 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 15 m/s 的速度远离的汽车发射 30 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.9645 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 200/3.6 = 55.56 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 55.56²/(2·1600) = 0.9645 m/s²

答案

a = 0.9645 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 15.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

h_max = 10 + 5.097 = 15.1 m

答案

h_max = 15.1 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1007

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·41) = 0.9878 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9878/9.81 = 0.1007

答案

μ = 0.1007

4.牛顿定律

答案: d = 0.8656 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.2·cos 20°) = 5.199 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·5.199) = 0.8656 m

答案

d = 0.8656 m

5.抛体运动

答案: t = 1.835 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 30° = 15.59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 30° = 9 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9/9.81 = 1.835 s

答案

t = 1.835 s

6.抛体运动

答案: t = 2.81 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 15° = 11.59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 15° = 3.106 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 3.106·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.106 + √(9.646 + 588.6))/9.81 = 2.81 s

答案

t = 2.81 s

7.功和能

答案: v = 11.49 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·20·(0.6428 − 0.4·0.766)) = 11.49 m/s

答案

v = 11.49 m/s

8.功和能

答案: v = 6.644 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(3 − 0.15·5) = 11.04 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.25) = 6.644 m/s

答案

v = 6.644 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 28875 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·11/2200 = 3.5 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·700·11² = 42350 J

K_after = ½·2200·3.5² = 13475 J

损失的能量

ΔK = 42350 − 13475 = 28875 J

答案

ΔK = 28875 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 26.92 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·9.5) = 10.58 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·10.58/1100 = 26.92 m/s

答案

v₁ = 26.92 m/s

(96.91 km/h)

11.静水压力

答案: F = 139.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·3 = 139.8 kN

答案

F = 139.8 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.556 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.25/(1.5·3) = 1.556 m

答案

y_cp = 1.556 m

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 160.6 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.024/0.03142 = 0.7639 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.024/0.01767 = 1.358 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 160 + ½·1000·(1.358² − 0.7639²)/1000 = 160 + 0.6304 = 160.6 kPa

答案

p₁ = 160.6 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 226.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/40)² = 3.516 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 3.516²)/1000 = −5.68 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−5.68) − 98.1 = 226.2 kPa

答案

p₂ = 226.2 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 74.96 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 500/39.95 = 12.52 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

体积

V = nRT/P = 12.52·8.314·288.1/400 = 74.96 L

答案

V = 74.96 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 21.32 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 323.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(400/400)·(323.1/303.1) = 21.32 L

答案

V₂ = 21.32 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 62.64 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 525 + 273.15 = 798.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/798.1 = 62.64 %

答案

η_max = 62.64 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.4154 kW

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(308.1 − 255.1) = 4.814

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2/4.814 = 0.4154 kW

答案

Ẇ_min = 0.4154 kW

19.波、声与光学

答案: β₂ = 61.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (2/10)² = 0.04

新的声级

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0.04) = 61.02 dB

答案

β₂ = 61.02 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: f″ = 27486 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 − 15)/343 = 28688 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 15) = 27486 Hz

答案

f″ = 27486 Hz

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