大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 36 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.4 s，之后汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 36 km/ht_r = 1.4 sa = −7 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 20 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 8 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 15°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 5.2 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 5.2 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 24 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 1100 kgd = 24 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 200 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 60 kPa。水从水面以下 1 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 60 kPa (表压)h = 1 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想气体定律中等

460 g Ar在 300 kPa 和 40 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 460 gM = 39.95 g/molP = 300 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求Ar在 850 kPa 和 140 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 850 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 325 °C 的热源吸收 4500 kJ 热量，放出 2205 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 325 °CQ_H = 4500 kJQ_L = 2205 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 30 °C 的厨房中将冷藏室保持在 2 °C，以 5 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 30 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.5 W 的声功率。求 5 m 处的声强级 β。

P = 0.5 Wr = 5 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.15 mm 的两条缝。在 1 m 外的屏上，第 5 条亮条纹距中央条纹 21.67 mm。求波长 λ。

d = 0.15 mmL = 1 my₅ = 21.67 mmm = 5

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 21.14 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 10·1.4 = 14 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·7) = 7.143 m

合计

d = 14 + 7.143 = 21.14 m

答案

d = 21.14 m

2.运动学

答案: t = 4.908 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 20·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 20·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (20 + √(20² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.908 s

答案

t = 4.908 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 22.14 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 15.94)/9 = 0.9537 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·0.9537 + 15.94 = 22.14 N

答案

T = 22.14 N

5.抛体运动

答案: x = 75.75 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31.95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11.63 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11.63/9.81 = 2.371 s

水平距离

x = v_x·t = 31.95·2.371 = 75.75 m

答案

x = 75.75 m

6.抛体运动

答案: x = 69.59 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 15° = 19.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 15° = 5.176 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 5.176·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.176 + √(26.79 + 882.9))/9.81 = 3.602 s

水平距离

x = v_x·t = 19.32·3.602 = 69.59 m

答案

x = 69.59 m

7.功和能

答案: W_f = 15.16 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9659 = 18.95 N

F = μN = 0.1·18.95 = 1.895 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.895·8 = 15.16 J

答案

W_f = 15.16 J

8.功和能

答案: N = 3.924 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.2 − 4) = 23.54 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·23.54/2 − 19.62 = 3.924 N

答案

N = 3.924 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.111 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 1)/(3.5 + 1)·2 = 1.111 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1)·2 = 3.111 m/s

答案

v′₁ = 1.111 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 36.31 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·24) = 18.16 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·18.16/1100 = 36.31 m/s

答案

v₁ = 36.31 m/s

(130.7 km/h)

11.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

12.静水压力

答案: F = 19.62 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·2 = 19.62 kN

答案

F = 19.62 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 160 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−40) = 160 kPa

答案

p₂ = 160 kPa

14.连续性和伯努利

答案: v = 11.82 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(60000/1000 + 9.81·1)) = 11.82 m/s

答案

v = 11.82 m/s

15.理想气体定律

答案: V = 99.93 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 460/39.95 = 11.51 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

体积

V = nRT/P = 11.51·8.314·313.1/300 = 99.93 L

答案

V = 99.93 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 9.886 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273.15 = 413.1 K

密度

ρ = 850·39.95/(8.314·413.1) = 9.886 kg/m³

答案

ρ = 9.886 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 19.94 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 598.1·2205/4500 = 293.1 K = 19.94 °C

答案

T_L = 19.94 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.5088 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(303.1 − 275.1) = 9.827

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/9.827 = 0.5088 kW

答案

Ẇ_min = 0.5088 kW

19.波、声与光学

答案: β = 92.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 0.001592 W/m²

难度

β = 10·log₁₀(0.001592/10⁻¹²) = 92.02 dB

答案

β = 92.02 dB

20.波、声与光学

答案: λ = 650.1 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.02167·0.00015/(5·1) = 6.501 × 10⁻⁷ m = 650.1 nm

答案

λ = 650.1 nm

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