大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)0.8 s25

一位以 90 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 90 km/htr = 0.8 sa = −8 m/s²
d = m
2.运动学困难
d = ?

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

ttotal = 1.6 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
θ = 20°a = ?m = 13 kg

一个 13 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
θ = 15°物块v₀ = 5 m/s

一个物块被推了一下，以 5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5 m/sθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
d = m
5.抛体运动中等
v0​ = 20 m/s45°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 20 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 45 mv0​ = 19 m/s25°射程

一个球 从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 19 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.功和能中等
45°d = 4 mμ = 0.25

一个 2 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 4 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.25d = 4 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
h = 2 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 5000 N/m

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
3 kg12 m/s2.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。

m1 = 3 kgm2 = 2.5 kgv1 = 12 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
1600 kg13 m/s1000 kg25 m/sv′ = ?

在一个十字路口，一辆以 13 m/s 向东行驶的 1600 kg 汽车与一辆以 25 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。 求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m1 = 1600 kgv1 = 13 m/s (E)m2 = 1000 kgv2 = 25 m/s (N)
v′ = m/s
11.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 1.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。宽段压强为 250 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 250 kPav1 = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
C212 m1 md = 50 mmQ = ?

一根内径 50 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2 m，出口（通大气）低于水面 1 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求流量 Q。

d = 50 mmzC = +2 mz2 = −1 mg = 9.81 m/s²
Q = L/s
15.理想气体定律中等
370 g CH₄V = 30 LT = 85 °CP = ?

容积为 30 L 的容器中装有 370 g CH₄，温度为 85 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 370 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的Ar从 100 kPa、10 L、40 °C 变化到 550 kPa 和 250 °C。求新的体积 V2。

P1 = 100 kPaV1 = 10 LT1 = 40 °CP2 = 550 kPaT2 = 250 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 400 °CTL​ = 40 °CEQH​QL​W

一台热机在 400 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。

TH = 400 °CTL = 40 °C
ηmax = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 21 °CTL​ = 5 °CHPQ̇H​ = 6 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵在室外 5 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 6 kW 热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 21 °CTL = 5 °CQ̇H = 6 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
FFdo​ = 60 cmf = 8 cm

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 60 cm 处。求像距 di。使用符号规定 1/f = 1/do + 1/di（发散透镜 f < 0，虚像 di < 0）。

do = 60 cmf = 8 cm
di = cm
20.波、声与光学困难
f1​ = 10 cmf2​ = 5 cm50 cm40 cm

两个薄透镜共轴，相距 40 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 50 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 10 cmf2 = 5 cms = 40 cmdo = 50 cm
di2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 59.06 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 25·0.8 = 20 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 25²/(2·8) = 39.06 m

合计

d = 20 + 39.06 = 59.06 m

答案

d = 59.06 m
2.运动学

答案: d = 12.01 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.6 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 548.8 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·548.8))/(2·4.905) = 1.565 s

深度

d = ½·9.81·1.565² = 12.01 m

答案

d = 12.01 m
3.牛顿定律

答案: a = 2.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答案

a = 2.433 m/s²
4.牛顿定律

答案: d = 3.585 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.1·cos 15°) = 3.487 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·3.487) = 3.585 m

答案

d = 3.585 m
5.抛体运动

答案: x = 40.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 20·cos 45° = 14.14 m/s
vy = v0·sin θ = 20·sin 45° = 14.14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·14.14/9.81 = 2.883 s

水平距离

x = vx·t = 14.14·2.883 = 40.77 m

答案

x = 40.77 m
6.抛体运动

答案: t = 3.956 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 19·cos 25° = 17.22 m/s
vy = v0·sin θ = 19·sin 25° = 8.03 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 8.03·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (8.03 + √(64.48 + 882.9))/9.81 = 3.956 s

答案

t = 3.956 s
7.功和能

答案: Wf = 13.87 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.7071 = 13.87 N
F = μN = 0.25·13.87 = 3.468 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 3.468·4 = 13.87 J

答案

Wf = 13.87 J
8.功和能

答案: x = 8.635 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2 − 0.3·3.5) = 18.64 J

最大压缩量

½kx² = 18.64 → x = √(2·18.64/5000) = 0.08635 m = 8.635 cm

答案

x = 8.635 cm
9.动量与碰撞

答案: v′2 = 13.09 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·12 = 1.091 m/s
v′2 = 2·3/(3 + 2.5)·12 = 13.09 m/s

答案

v′2 = 13.09 m/s
10.动量与碰撞

答案: v′ = 12.51 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

px = 1600·13 = 20800 kg·m/s
py = 1000·25 = 25000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(px² + py²)/(m1 + m2) = 32521/2600 = 12.51 m/s

答案

v′ = 12.51 m/s
11.静水压力

答案: F = 47.82 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·1.5 = 47.82 kN

答案

F = 47.82 kN
12.静水压力

答案: ycp = 2.333 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.25·3 = 83.43 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 0.5625/(2.25·3) = 2.333 m

答案

ycp = 2.333 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 237.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(150/100)² = 5.625 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−12.7) = 237.3 kPa

答案

p2 = 237.3 kPa
14.连续性和伯努利

答案: Q = 8.697 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

流量

Q = A·v = 0.001963·4.429 = 0.008697 m³/s = 8.697 L/s

答案

Q = 8.697 L/s
15.理想气体定律

答案: P = 2290 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 370/16.04 = 23.07 mol
T = 85 + 273.15 = 358.1 K

压强

P = nRT/V = 23.07·8.314·358.1/0.03 = 2290 kPa

答案

P = 2290 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 3.037 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 313.1 K, T2 = 523.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(100/550)·(523.1/313.1) = 3.037 L

答案

V2 = 3.037 L
17.热机和制冷机

答案: ηmax = 53.48 %

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 313.1/673.1 = 53.48 %

答案

ηmax = 53.48 %
18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.3264 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 278.1) = 18.38

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇H/COP = 6/18.38 = 0.3264 kW

答案

Ẇmin = 0.3264 kW
19.波、声与光学

答案: di = 9.231 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/8 − 1/60
di = 9.231 cm
FF60 cmf = 8 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

di = 9.231 cm
20.波、声与光学

答案: di2 = 6.111 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/10 − 1/50 → di1 = 12.5 cm

透镜 2 的物

do2 = 40 − 12.5 = 27.5 cm

最终的像

1/di2 = 1/5 − 1/27.5 → di2 = 6.111 cm

答案

di2 = 6.111 cm

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