大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 17 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 120 N 的水平力拉前面 11 kg 的物块；5 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 11 kgF = 120 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 60 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 60 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 40 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 70°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.15d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 10 m/sv_out = 16 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 240 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一根内径 32 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1 m，出口（通大气）低于水面 4.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 32 mmz_C = +1 mz₂ = −4.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想气体定律中等

160 g CH₄在 450 kPa 和 65 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 160 gM = 16.04 g/molP = 450 kPaT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 500 kPa 和 170 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 500 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 325 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 325 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 400 °C 的热源吸收 1900 kJ 热量，产生 627 kJ 的功，其余热量排向 35 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 400 °CT_L = 35 °CQ_H = 1900 kJW = 627 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 30 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 30 cmf = 25 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 550 nmd = 0.3 mmL = 2 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 8.333 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/4 = 8.333 s

答案

t = 8.333 s

2.运动学

答案: t = 2.31 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.31 s

答案

t = 2.31 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.203 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答案

a = 5.203 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 37.5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (120 − 15.7)/16 = 6.519 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(6.519 + 0.981) = 37.5 N

答案

T = 37.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: θ = 12.03 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·60/38² = 0.4076

相角

2θ = 24.06° → θ = 12.03°

答案

θ = 12.03°

另一个解为 90° − θ = 77.97°。

6.抛体运动

答案: x = 100.3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 13.68 m/s, v_y = 37.59 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

12 = 37.59·t − 4.905·t²

t = (37.59 + √(37.59² − 2·9.81·12))/9.81 = 7.329 s

水平距离

x = v_x·t = 13.68·7.329 = 100.3 m

答案

x = 100.3 m

7.功和能

答案: v = 14.16 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.7071 − 0.15·0.7071)) = 14.16 m/s

答案

v = 14.16 m/s

8.功和能

答案: x = 96.79 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(5 − 0.15·1.5) = 468.4 J

最大压缩量

½kx² = 468.4 → x = √(2·468.4/1000) = 0.9679 m = 96.79 cm

答案

x = 96.79 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.8571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 2.5)/(4.5 + 2.5)·3 = 0.8571 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 2.5)·3 = 3.857 m/s

答案

v′₁ = 0.8571 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 325 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(16 + 10) = 6.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 6.5/0.02 = 325 N

答案

F_avg = 325 N

11.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·9 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.4 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.25·2.25 = 34.76 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.25 + 0.4219/(1.25·2.25) = 1.4 m

答案

y_cp = 1.4 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 181.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/40)² = 10.94 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 10.94²)/1000 = −58.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−58.28) = 181.7 kPa

答案

p₂ = 181.7 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p_C = 47.34 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(9.396²/2 + 9.81·1)/1000 = 101.3 − 53.96 = 47.34 kPa

答案

p_C = 47.34 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: V = 62.32 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 160/16.04 = 9.975 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

体积

V = nRT/P = 9.975·8.314·338.1/450 = 62.32 L

答案

V = 62.32 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.5432 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 500·4.003/(8.314·443.1) = 0.5432 kg/m³

答案

ρ = 0.5432 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 51.83 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/598.1 = 51.83 %

答案

η_max = 51.83 %

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 1.309 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 1900 − 627 = 1273 kJ

绝对温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −1900/673.1 = −2.823 kJ/K

ΔS_L = 1273/308.1 = 4.131 kJ/K

S_gen = 4.131 − 2.823 = 1.309 kJ/K

答案

S_gen = 1.309 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: d_i = 150 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/30

d_i = 150 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 150 cm

20.波、声与光学

答案: Δy = 3.667 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·2/(0.3 × 10⁻³) = 3.667 mm

答案

Δy = 3.667 mm

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