大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s 抛出，必须落在 20 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 24 m/sR = 20 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 30°μ = 0.2d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 15 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 15 Nθ = 20°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 28 m/sv_out = 8 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 40 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 4.5 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 40 mmh = 4.5 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 270 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 270 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

420 g CH₄在 100 kPa 和 10 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 420 gM = 16.04 g/molP = 100 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 350 kPa、2 L、30 °C 变化到 650 kPa 和 210 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 350 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 350 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 350 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 7 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 12 kW 热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 20 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 12 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

两端固定的弦的第 3 次谐波必须为 900 Hz；波在其上以 240 m/s 传播。求其长度 L。

v = 240 m/sn = 3f₃ = 900 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y₁。

λ = 600 nmd = 0.15 mmL = 1.5 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 14.29 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3.5) = 14.29 m

答案

s = 14.29 m

2.运动学

答案: t = 4.753 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.753 s

答案

t = 4.753 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 12.95 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 1.962)/5 = 5.494 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·5.494 + 1.962 = 12.95 N

答案

T = 12.95 N

5.抛体运动

答案: θ = 9.957 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·20/24² = 0.3406

相角

2θ = 19.91° → θ = 9.957°

答案

θ = 9.957°

另一个解为 90° − θ = 80.04°。

6.抛体运动

答案: t = 3.721 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 20° = 16.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 20° = 6.156 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 6.156·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.156 + √(37.9 + 882.9))/9.81 = 3.721 s

答案

t = 3.721 s

7.功和能

答案: W_f = 30.58 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.866 = 16.99 N

F = μN = 0.2·16.99 = 3.398 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.398·9 = 30.58 J

答案

W_f = 30.58 J

8.功和能

答案: v = 4.394 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 6.71 N

μ·mg·cos θ = 5.531 N

功–能关系

½mv² = (15 − 12.24)·7 = 19.31 J

v = √(2·19.31/2) = 4.394 m/s

答案

v = 4.394 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 4.286 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 1)/(2.5 + 1)·10 = 4.286 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 1)·10 = 14.29 m/s

答案

v′₁ = 4.286 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 14.4 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(8 + 28) = 14.4 N·s

答案

J = 14.4 N·s

11.静水压力

答案: F = 29.43 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·1 = 29.43 kN

答案

F = 29.43 kN

12.静水压力

答案: F = 233.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3·9 = 233.1 kN

答案

F = 233.1 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 7.203 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.001257·9.396 = 0.007203 m³/s = 7.203 L/s

答案

Q = 7.203 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 247.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(150/100)² = 2.813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 2.813²)/1000 = −3.174 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−3.174) − 19.62 = 247.2 kPa

答案

p₂ = 247.2 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 616.4 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 420/16.04 = 26.18 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体积

V = nRT/P = 26.18·8.314·283.1/100 = 616.4 L

答案

V = 616.4 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.716 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 483.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(350/650)·(483.1/303.1) = 1.716 L

答案

V₂ = 1.716 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 51.35 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/623.1 = 51.35 %

答案

η_max = 51.35 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 22.55

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 280.1) = 22.55

答案

COP_max = 22.55

19.波、声与光学

答案: L = 0.4 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 240/900 = 0.2667 m

长度

L = nλ/2 = 3·0.2667/2 = 0.4 m

答案

L = 0.4 m

20.波、声与光学

答案: y₁ = 6 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 6 mm

第 1 条条纹

y₁ = 1·6 = 6 mm

答案

y₁ = 6 mm

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