大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)0.5 s25

一位以 90 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 90 km/htr = 0.5 sa = −6.5 m/s²
d = m
2.运动学困难
AB: 14 m/s20 m

球 A 从 20 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 14 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 20 mv0B = 14 m/sg = 9.81 m/s²
y = m
3.牛顿定律中等
θ = 40°a = ?m = 10 kg

一个 10 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 7.5 kg1 kg无摩擦

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 7.5 kgm2 = 1 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 10 m/s30°射程

一个球 从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 10 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
h = 30 mv0​ = 11 m/s25°x = ?

一个球 从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 11 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
45°L = 2 m0.5 kg

一个 0.5 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 2 mθ = 45°g = 9.81 m/s²
T = N
8.功和能困难
3 kg2 kgμ = 0.2d = 3 m

一个 3 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 2 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m1 = 3 kgm2 = 2 kgμ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
2 kgv = ?15 gh = 3 cm

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 3 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.动量与碰撞困难
1100 kgv1​ = ?1700 kg

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 1700 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 8.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v1。

m1 = 1100 kgm2 = 1700 kgd = 8.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²
v1 = m/s
11.静水压力中等
闸门d = 4 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 75 mm, p1​ = 260 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 260 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 260 kPav1 = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 200 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 3 m

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 40 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 320 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 200 mmd2 = 40 mmp1 = 320 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
260 g HeP = 700 kPaT = 5 °CV = ?

260 g He在 700 kPa 和 5 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 260 gM = 4.003 g/molP = 700 kPaT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
CH₄, M = 16.04 g/molP = 1000 kPaT = 200 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CH₄在 1000 kPa 和 200 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 1000 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 600 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​W

一台热机在 600 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。

TH = 600 °CTL = 25 °C
ηmax = %
18.热机和制冷机困难
1100 °CTm​ = ?40 °CABWA​WB​

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 1100 °C 的热源吸热，向温度为 Tm 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 40 °C 的热源放热。 两台热机产生的功相同。求 Tm，以 °C 表示。

TH = 1100 °CTL = 40 °C
Tm = °C
19.波、声与光学中等
FFdo​ = 12 cmf = 30 cm

一个物体位于焦距为 30 cm 的薄会聚透镜前 12 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

do = 12 cmf = 30 cm
m =
20.波、声与光学困难
θn1​ = 1.46n2​ = 1.36n0​ = 1.00

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.46，包层 n₂ = 1.36。求它的数值孔径 NA。

n1 = 1.46n2 = 1.36
NA =

3溶液

1.运动学

答案: d = 60.58 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 25·0.5 = 12.5 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 25²/(2·6.5) = 48.08 m

合计

d = 12.5 + 48.08 = 60.58 m

答案

d = 60.58 m
2.运动学

答案: y = 9.99 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

20 − ½g·t² = 14·t − ½g·t² → t = 20/14 = 1.429 s

相遇高度

y = 14·1.429 − ½·9.81·1.429² = 9.99 m

答案

y = 9.99 m
3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 8.656 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (9.81 − 0)/8.5 = 1.154 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 7.5·1.154 + 0 = 8.656 N

答案

T = 8.656 N
5.抛体运动

答案: t = 1.019 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 10·cos 30° = 8.66 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 30° = 5 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·5/9.81 = 1.019 s

答案

t = 1.019 s
6.抛体运动

答案: x = 29.83 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 11·cos 25° = 9.969 m/s
vy = v0·sin θ = 11·sin 25° = 4.649 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 4.649·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (4.649 + √(21.61 + 588.6))/9.81 = 2.992 s

水平距离

x = vx·t = 9.969·2.992 = 29.83 m

答案

x = 29.83 m
7.功和能

答案: T = 7.778 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 45°) = 11.49 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·11.49/2 = 7.778 N

答案

T = 7.778 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 7.778 N。

8.功和能

答案: v = 4.06 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 19.62·3 = 58.86 J
μ·m₁g·d = 0.2·29.43·3 = 17.66 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 41.2 → v = √(2·41.2/5) = 4.06 m/s

答案

v = 4.06 m/s
9.动量与碰撞

答案: v = 103.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 2)·0.7672/0.015 = 103.1 m/s

答案

v = 103.1 m/s
10.动量与碰撞

答案: v1 = 29.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·8.5) = 11.55 m/s

碰撞中的动量

m1·v1 = (m1 + m2)·V → v1 = 2800·11.55/1100 = 29.4 m/s

答案

v1 = 29.4 m/s
(105.8 km/h)
11.静水压力

答案: F = 66.22 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 4 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·1.5 = 66.22 kN

答案

F = 66.22 kN
12.静水压力

答案: ycp = 3.524 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 3 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.5·1.5 = 64.89 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 0.125/(3.5·1.5) = 3.524 m

答案

ycp = 3.524 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 244.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(75/50)² = 6.188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 260 + (−15.36) = 244.6 kPa

答案

p2 = 244.6 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 212.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(200/40)² = 12.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 12.5²)/1000 = −78 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 320 + (−78) − 29.43 = 212.6 kPa

答案

p2 = 212.6 kPa
15.理想气体定律

答案: V = 214.6 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 260/4.003 = 64.95 mol
T = 5 + 273.15 = 278.1 K

体积

V = nRT/P = 64.95·8.314·278.1/700 = 214.6 L

答案

V = 214.6 L
16.理想气体定律

答案: ρ = 4.078 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 200 + 273.15 = 473.1 K

密度

ρ = 1000·16.04/(8.314·473.1) = 4.078 kg/m³

答案

ρ = 4.078 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: ηmax = 65.85 %

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 600 + 273.15 = 873.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 298.1/873.1 = 65.85 %

答案

ηmax = 65.85 %
18.热机和制冷机

答案: Tm = 570 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 1100 + 273.15 = 1373 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K

功相等

W = Q·(1 − Tlow/Thigh)，且每个热源的 Q/T 相同，所以 W 与温降成正比。

Tm = (1373 + 313.1)/2 = 843.2 K = 570 °C

答案

Tm = 570 °C
19.波、声与光学

答案: m = 1.667

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/30 − 1/12
di = −20 cm
FF12 cmf = 30 cm

放大率

m = −di/do = −(−20)/12 = 1.667

答案

m = 1.667
20.波、声与光学

答案: NA = 0.531

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.36/1.46 = 0.9315 → θc = 68.67°

数值孔径

NA = √(1.46² − 1.36²) = 0.531

答案

NA = 0.531

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