大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
a = 3.75 m/s²s = 1600 m

一架飞机从静止开始，以 3.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1600 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.75 m/s²s = 1600 m
v = m/s
2.运动学困难
v₀ = 17 m/s35 m

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 17 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 25°a = ?m = 19 kg

一个 19 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1.5 kg2.5 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 1.5 kgm2 = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
6 my = ?v0​ = 14 m/s65°

一个球从水平地面以 14 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 6 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 14 m/sθ = 65°x = 6 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
h = 45 mv0​ = 35 m/s55°射程

一个球 从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 35 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.功和能中等
50 km/h

一辆汽车在水平路面上以 50 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 50 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²
d = m
8.功和能困难
h = 14 mR = 4 mN = ?

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 14 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 14 mR = 4 mg = 9.81 m/s²
N = N
9.动量与碰撞中等
1.5 kg12 m/s1 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 1.5 kgm2 = 1 kgv1 = 12 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.动量与碰撞困难
11 m/s6 m/s

一个 0.45 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.45 kgvin = 11 m/svout = 6 m/sΔt = 10 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 4 mH = 1.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 2 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 60 kPa

水以 38 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 60 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 38 L/sd1 = 150 mmd2 = 75 mmp2 = 60 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 300 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 300 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 300 kPav1 = 1 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
130 g N₂V = 10 LT = 70 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 130 g N₂，温度为 70 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 130 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
N₂, M = 28.01 g/molP = 250 kPaT = 160 °Cρ = ?

按理想气体处理，求N₂在 250 kPa 和 160 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 250 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 500 °CTL​ = 35 °CEQH​QL​η = 36%

一台热机从 500 °C 的热源吸热，向 35 °C 的环境放热。其实际热效率为 36%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 500 °CTL = 35 °Cη = 36%
ηII = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 20 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 11 kWQ̇L​Ẇ

一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 11 kW 热量。 求可能的最高性能系数 COPmax。

TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 11 kW
COPmax =
19.波、声与光学中等
S20 m/sO10 m/sf = 800 Hz

频率为 800 Hz、速度为 20 m/s 的声源与速度为 10 m/s 的观察者相向运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 800 Hzv = 343 m/svs = 20 m/svo = 10 m/s
f′ = Hz
20.波、声与光学困难
λ = 450 nma = 0.05 mmL = 1 m

波长为 450 nm 的光通过一条宽 0.05 mm 的单缝。求 1 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 450 nma = 0.05 mmL = 1 m
w = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 109.5 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.75·1600) = 109.5 m/s

答案

v = 109.5 m/s
(394.4 km/h)
2.运动学

答案: hmax = 49.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

离地面的高度

hmax = 35 + 14.73 = 49.73 m

答案

hmax = 49.73 m
3.牛顿定律

答案: a = 2.368 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答案

a = 2.368 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 11.04 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 2.943)/4 = 5.396 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 1.5·5.396 + 2.943 = 11.04 N

答案

T = 11.04 N
5.抛体运动

答案: y = 7.823 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

vx = 14·cos 65° = 5.917 m/s
t = x/vx = 6/5.917 = 1.014 s

此时的高度

y = 12.69·1.014 − ½·9.81·1.014² = 7.823 m

答案

y = 7.823 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 7.132 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 35·cos 55° = 20.08 m/s
vy = v0·sin θ = 35·sin 55° = 28.67 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 28.67·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (28.67 + √(822 + 882.9))/9.81 = 7.132 s

答案

t = 7.132 s
7.功和能

答案: d = 12.29 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.8·9.81) = 12.29 m

答案

d = 12.29 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: N = 196.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(14 − 8) = 117.7 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N
N = mv²/R − mg = 10·117.7/4 − 98.1 = 196.2 N

答案

N = 196.2 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′1 = 2.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (1.5 − 1)/(1.5 + 1)·12 = 2.4 m/s
v′2 = 2·1.5/(1.5 + 1)·12 = 14.4 m/s

答案

v′1 = 2.4 m/s
10.动量与碰撞

答案: Favg = 765 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(6 + 11) = 7.65 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 7.65/0.01 = 765 N

答案

Favg = 765 N
11.静水压力

答案: F = 104.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
闸门d = 4 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.75·2.25 = 104.8 kN

答案

F = 104.8 kN
12.静水压力

答案: ycp = 1.722 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
闸门d = 0.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 1.333/(1.5·4) = 1.722 m

答案

ycp = 1.722 m
13.连续性和伯努利

答案: p1 = 94.68 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.038/0.01767 = 2.15 m/s
v2 = Q/A2 = 0.038/0.004418 = 8.601 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 60 + ½·1000·(8.601² − 2.15²)/1000 = 60 + 34.68 = 94.68 kPa

答案

p1 = 94.68 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 220.4 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(100/75)² = 1.778 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 1.778²)/1000 = −1.08 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 300 + (−1.08) − 78.48 = 220.4 kPa

答案

p2 = 220.4 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 1324 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 130/28.01 = 4.641 mol
T = 70 + 273.15 = 343.1 K

压强

P = nRT/V = 4.641·8.314·343.1/0.01 = 1324 kPa

答案

P = 1324 kPa
16.理想气体定律

答案: ρ = 1.944 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 250·28.01/(8.314·433.1) = 1.944 kg/m³

答案

ρ = 1.944 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: ηII = 59.86 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 500 + 273.15 = 773.1 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 308.1/773.1 = 60.14 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 36/60.14 = 59.86 %

答案

ηII = 59.86 %
18.热机和制冷机

答案: COPmax = 16.29

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

答案

COPmax = 16.29
19.波、声与光学

答案: f′ = 874.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 800·(343 + 10)/(343 − 20)
f′ = 874.3 Hz

答案

f′ = 874.3 Hz
20.波、声与光学

答案: w = 18 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·1/(0.05 × 10⁻³) = 9 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 18 mm

答案

w = 18 mm

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