大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 25 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 16 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 25 mv_0B = 16 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 100 N 的水平力拉前面 2 kg 的物块；12 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 12 kgm₂ = 2 kgF = 100 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 31 m/sθ = 30°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 1 mL = 1 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 11 m/sv_out = 14 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水以 26 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 80 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 26 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 80 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 100 mm，喉部 50 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 220 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 220 mmC_d = 0.99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 360 g CO₂，温度为 100 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 360 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求Ar在 900 kPa 和 150 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 900 kPaT = 150 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 225 °C 的热源吸收 3300 kJ 热量，放出 2174 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 225 °CQ_H = 3300 kJQ_L = 2174 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 900 °C 的热源吸收 4900 kJ 热量，产生 2940 kJ 的功，其余热量排向 15 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 900 °CT_L = 15 °CQ_H = 4900 kJW = 2940 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

频率为 600 Hz、速度为 10 m/s 的声源与速度为 5 m/s 的观察者相互远离。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 60 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = −20 cm。一个物体位于透镜 1 前 18 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 12 cmf₂ = −20 cms = 60 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 8.333 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8.333 m

答案

s = 8.333 m

2.运动学

答案: t = 1.563 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

25 − ½g·t² = 16·t − ½g·t² → t = 25/16 = 1.563 s

答案

t = 1.563 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.356 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答案

a = 2.356 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 85.71 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (100 − 34.34)/14 = 4.69 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 12·(4.69 + 2.453) = 85.71 N

答案

T = 85.71 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 4.307 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 50° = 7.713 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 50° = 9.193 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9.193²/(2·9.81) = 4.307 m

答案

H = 4.307 m

6.抛体运动

答案: x = 145.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 30° = 26.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 30° = 15.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 15.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.5 + √(240.2 + 1177))/9.81 = 5.418 s

水平距离

x = v_x·t = 26.85·5.418 = 145.5 m

答案

x = 145.5 m

7.功和能

答案: W_f = 93.35 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.3·44.45 = 13.34 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 13.34·7 = 93.35 J

答案

W_f = 93.35 J

8.功和能

答案: x = 11.89 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(1 − 0.1·1) = 35.32 J

最大压缩量

½kx² = 35.32 → x = √(2·35.32/5000) = 0.1189 m = 11.89 cm

答案

x = 11.89 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·11 = −1.571 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·11 = 9.429 m/s

答案

v′₁ = −1.571 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 600 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(14 + 11) = 15 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 15/0.025 = 600 N

答案

F_avg = 600 N

11.静水压力

答案: F = 110.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3 = 110.4 kN

答案

F = 110.4 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.333 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.25·3 = 58.27 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.5625/(2.25·3) = 2.333 m

答案

y_cp = 2.333 m

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 84.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.026/0.01767 = 1.471 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.026/0.007854 = 3.31 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 80 + ½·1000·(3.31² − 1.471²)/1000 = 80 + 4.397 = 84.4 kPa

答案

p₁ = 84.4 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 14.81 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.22 = 27193 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 50/100 = 0.5

v₂ = √(2·27193/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.617 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.99·0.001963·7.617 = 0.01481 m³/s = 14.81 L/s

答案

Q = 14.81 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 5075 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 360/44.01 = 8.18 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

压强

P = nRT/V = 8.18·8.314·373.1/0.005 = 5075 kPa

答案

P = 5075 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 10.22 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273.15 = 423.1 K

密度

ρ = 900·39.95/(8.314·423.1) = 10.22 kg/m³

答案

ρ = 10.22 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 55.03 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 498.1·2174/3300 = 328.2 K = 55.03 °C

答案

T_L = 55.03 °C

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 2.625 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 4900 − 2940 = 1960 kJ

绝对温度

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −4900/1173 = −4.177 kJ/K

ΔS_L = 1960/288.1 = 6.802 kJ/K

S_gen = 6.802 − 4.177 = 2.625 kJ/K

答案

S_gen = 2.625 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f′ = 574.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 5)/(343 + 10)

f′ = 574.5 Hz

答案

f′ = 574.5 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i2 = −10.91 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/12 − 1/18 → d_i1 = 36 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 60 − 36 = 24 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/24 → d_i2 = −10.91 cm

答案

d_i2 = −10.91 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers