大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 5 m/s²汽车34 m/s

一辆以恒定的 34 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。

vcar = 34 m/sapolice = 5 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
t (s)v (m/s)7 s

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 7 s，然后匀速行驶 29 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。 求两站之间的总距离 s。

a1 = 1.5 m/s²t1 = 7 st2 = 29 sa3 = −4.5 m/s²
s = m
3.牛顿定律中等
8.5 kg8 kg

质量为 8.5 kg 和 8 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 8.5 kgm2 = 8 kgg = 9.81 m/s²
T = N
4.牛顿定律困难
m1​ = 3.5 kg2 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 3.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 3.5 kgm2 = 2 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 38 m/s60°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 38 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 25 mv0​ = 16 m/s35°x = ?

一个球 从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 16 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
90 km/h8°1500 kg

一辆 1500 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 250 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1500 kgθ = 8°Fr = 250 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²
P = kW
8.功和能困难
k = 3000 N/m20°μ = 0.15 kg

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
d = m
9.动量与碰撞中等
18 kg69 m/s2 kgv′2​ = ?

一个以 21 m/s 水平运动的 20 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。18 kg 的碎片以 69 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′2（以原运动方向为正）。

M = 20 kgu = 21 m/sm1 = 18 kgv′1 = 69 m/sm2 = 2 kg
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
23 m/s4 m/s

一个 0.5 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.5 kgvin = 23 m/svout = 4 m/sΔt = 50 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = 260 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 260 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 260 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 200 mm, p1​ = 240 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 75 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 240 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 240 kPav1 = 0.75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
480 g CH₄V = 10 LT = 60 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 480 g CH₄，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 480 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的O₂从 200 kPa、10 L、35 °C 变化到 250 kPa 和 60 °C。求新的体积 V2。

P1 = 200 kPaV1 = 10 LT1 = 35 °CP2 = 250 kPaT2 = 60 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 650 °CTL​ = 5 °CEQH​ = 3800 kJQL​W = ?

一台热机在 650 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 3800 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 650 °CTL = 5 °CQH = 3800 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 20 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 5 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵在室外 7 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 5 kW 热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 20 °CTL = 7 °CQ̇H = 5 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
θc = ?90°甘油, n1​ = 1.47乙醇, n2​ = 1.36

光在甘油（n = 1.47）中向与乙醇（n = 1.36）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。

n1 = 1.47n2 = 1.36
θc = °
20.波、声与光学困难
λ = 500 nmθ2​ = ?

波长为 500 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ2。

N = 300 mm⁻¹λ = 500 nmm = 2
θ2 = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 13.6 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/5 = 13.6 s

答案

t = 13.6 s

此时警车的速度为 2v = 68 m/s。

2.运动学

答案: s = 353.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 1.5·7 = 10.5 m/s

各阶段的距离

s1 = ½·1.5·7² = 36.75 m
s2 = 10.5·29 = 304.5 m
s3 = 10.5²/(2·4.5) = 12.25 m

总距离

s = 36.75 + 304.5 + 12.25 = 353.5 m

答案

s = 353.5 m
3.牛顿定律

答案: T = 80.86 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8.5 − 8)·9.81/(8.5 + 8) = 0.2973 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m2·g = m2·a → T = 8·(9.81 + 0.2973) = 80.86 N

答案

T = 80.86 N
4.牛顿定律

答案: a = 2.943 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (19.62 − 3.434)/5.5 = 2.943 m/s²

答案

a = 2.943 m/s²
5.抛体运动

答案: H = 55.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 38·cos 60° = 19 m/s
vy = v0·sin θ = 38·sin 60° = 32.91 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 32.91²/(2·9.81) = 55.2 m

答案

H = 55.2 m
6.抛体运动

答案: x = 44.29 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 16·cos 35° = 13.11 m/s
vy = v0·sin θ = 16·sin 35° = 9.177 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 9.177·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (9.177 + √(84.22 + 490.5))/9.81 = 3.379 s

水平距离

x = vx·t = 13.11·3.379 = 44.29 m

答案

x = 44.29 m
7.功和能

答案: P = 57.45 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N
mg·sin θ = 14715·sin 8° = 2048 N
F = 2048 + 250 = 2298 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s
P = F·v = 2298·25 = 57448 W = 57.45 kW

答案

P = 57.45 kW
8.功和能

答案: d = 0.7014 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m
½kx² = ½·3000·0.1² = 15 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 15/(49.05·(0.342 + 0.1·0.9397)) = 0.7014 m

答案

d = 0.7014 m
9.动量与碰撞

答案: v′2 = −411 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 20·21 = 420 kg·m/s

碰撞后的动量

420 = 18·69 + 2·v′2
v′2 = (420 − 1242)/2 = −411 m/s

答案

v′2 = −411 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: Favg = 270 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(4 + 23) = 13.5 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 13.5/0.05 = 270 N

答案

Favg = 270 N
11.静水压力

答案: F = 36.79 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·3 = 36.79 kN

答案

F = 36.79 kN
12.静水压力

答案: ycp = 2.633 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 1.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.5 + 0.6667/(2.5·2) = 2.633 m

答案

ycp = 2.633 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 230 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 260 + (−30) = 230 kPa

答案

p2 = 230 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 206.4 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(200/75)² = 5.333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 5.333²)/1000 = −13.94 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 240 + (−13.94) − 19.62 = 206.4 kPa

答案

p2 = 206.4 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 8289 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 480/16.04 = 29.93 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 29.93·8.314·333.1/0.01 = 8289 kPa

答案

P = 8289 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 8.649 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 308.1 K, T2 = 333.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(200/250)·(333.1/308.1) = 8.649 L

答案

V2 = 8.649 L
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 2655 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 650 + 273.15 = 923.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 278.1/923.1 = 69.87 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.6987·3800 = 2655 kJ

答案

Wmax = 2655 kJ
18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.2217 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293.1/(293.1 − 280.1) = 22.55

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇H/COP = 5/22.55 = 0.2217 kW

答案

Ẇmin = 0.2217 kW
19.波、声与光学

答案: θc = 67.69 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.47 = 0.9252

临界角

θc = arcsin(0.9252) = 67.69°

答案

θc = 67.69°
20.波、声与光学

答案: θ2 = 17.46 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·500 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.3
θ = 17.46°

答案

θ2 = 17.46°

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