大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)7.5 s30

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
AB: 21 m/s60 m

球 A 从 60 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 21 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 两球何时相遇？求 t。

H = 60 mv0B = 21 m/sg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
20 kg30°F = 200 Nμ = 0.2

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 200 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 200 Nθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
9 kg1 kgTF = 70 Nμ = 0.2

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 70 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。 求物块的加速度 a。

m1 = 9 kgm2 = 1 kgF = 70 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = ?20°R = 50 m

一个球从水平地面以与水平方向成 20° 的角度抛出，落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v0。

θ = 20°R = 50 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.抛体运动困难
h = 10 mv0​ = 15 m/s50°x = ?

一个球 从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 15 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
25°d = 7 mμ = 0.3

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
h = 4.5 mL = 3 mμ = 0.15k = 2500 N/m

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 3 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
3 kg5 m/s4 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。

m1 = 3 kgm2 = 4 kgv1 = 5 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
27 m/s18 m/s

一个 0.2 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.2 kgvin = 27 m/svout = 18 m/sΔt = 25 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 75 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 340 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 340 kPav1 = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 75 mm, p1​ = 350 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 350 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 350 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
460 g CH₄V = 30 LT = 15 °CP = ?

容积为 30 L 的容器中装有 460 g CH₄，温度为 15 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 460 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的N₂从 200 kPa、10 L、10 °C 变化到 100 kPa 和 130 °C。求新的体积 V2。

P1 = 200 kPaV1 = 10 LT1 = 10 °CP2 = 100 kPaT2 = 130 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 750 °CTL​ = 30 °CEQH​ = 3500 kJQL​W = ?

一台热机在 750 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 3500 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 750 °CTL = 30 °CQH = 3500 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 20 °CTL​ = -5 °CHPQ̇H​ = 12 kWQ̇L​Ẇ

一台热泵在室外 -5 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 12 kW 热量。 求可能的最高性能系数 COPmax。

TH = 20 °CTL = -5 °CQ̇H = 12 kW
COPmax =
19.波、声与光学中等
S20 m/sO10 m/sf = 300 Hz

频率为 300 Hz、速度为 20 m/s 的声源与速度为 10 m/s 的观察者相向运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/svs = 20 m/svo = 10 m/s
f′ = Hz
20.波、声与光学困难
λ = 600 nma = 0.1 mm

波长为 600 nm 的光通过一条宽 0.1 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ1。

λ = 600 nma = 0.1 mmm = 1
θ1 = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 112.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4) = 112.5 m

答案

s = 112.5 m
2.运动学

答案: t = 2.857 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

60 − ½g·t² = 21·t − ½g·t² → t = 60/21 = 2.857 s

答案

t = 2.857 s
3.牛顿定律

答案: a = 7.698 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 200·sin 30° = 96.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 173.2 − 19.24
a = 154/20 = 7.698 m/s²

答案

a = 7.698 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 5.038 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m1 + m2)·g)/(m1 + m2) = (70 − 19.62)/10 = 5.038 m/s²

答案

a = 5.038 m/s²
5.抛体运动

答案: v0 = 27.62 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·50/sin 40°) = 27.62 m/s

答案

v0 = 27.62 m/s
6.抛体运动

答案: x = 29.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 15·cos 50° = 9.642 m/s
vy = v0·sin θ = 15·sin 50° = 11.49 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 11.49·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (11.49 + √(132 + 196.2))/9.81 = 3.018 s

水平距离

x = vx·t = 9.642·3.018 = 29.1 m

答案

x = 29.1 m
7.功和能

答案: v = 4.55 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·7·(0.4226 − 0.3·0.9063)) = 4.55 m/s

答案

v = 4.55 m/s
8.功和能

答案: v = 8.914 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.15·3) = 79.46 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.05) = 8.914 m/s

答案

v = 8.914 m/s
9.动量与碰撞

答案: v′2 = 4.286 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (3 − 4)/(3 + 4)·5 = −0.7143 m/s
v′2 = 2·3/(3 + 4)·5 = 4.286 m/s

答案

v′2 = 4.286 m/s
10.动量与碰撞

答案: Favg = 360 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(18 + 27) = 9 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 9/0.025 = 360 N

答案

Favg = 360 N
11.静水压力

答案: F = 14.71 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·1.5 = 14.71 kN

答案

F = 14.71 kN
12.静水压力

答案: F = 12.95 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1·1.5 = 12.95 kN

答案

F = 12.95 kN
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 297 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(75/40)² = 9.668 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 9.668²)/1000 = −42.95 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 340 + (−42.95) = 297 kPa

答案

p2 = 297 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 265.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(75/40)² = 8.789 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 8.789²)/1000 = −35.5 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 350 + (−35.5) − 49.05 = 265.5 kPa

答案

p2 = 265.5 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 2290 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 460/16.04 = 28.68 mol
T = 15 + 273.15 = 288.1 K

压强

P = nRT/V = 28.68·8.314·288.1/0.03 = 2290 kPa

答案

P = 2290 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 28.48 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 283.1 K, T2 = 403.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(200/100)·(403.1/283.1) = 28.48 L

答案

V2 = 28.48 L
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 2463 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 750 + 273.15 = 1023 K
TL = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 303.1/1023 = 70.37 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.7037·3500 = 2463 kJ

答案

Wmax = 2463 kJ
18.热机和制冷机

答案: COPmax = 11.73

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293.1/(293.1 − 268.1) = 11.73

答案

COPmax = 11.73
19.波、声与光学

答案: f′ = 327.9 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 300·(343 + 10)/(343 − 20)
f′ = 327.9 Hz

答案

f′ = 327.9 Hz
20.波、声与光学

答案: θ1 = 0.3438 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.006
θ = 0.3438°

答案

θ1 = 0.3438°

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