大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 280 km/h 的速度，可用跑道长 2100 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 280 km/hs = 2100 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 40 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 110 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 40 kgF = 110 Nθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 95 N 的水平力拉前面 11 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 11 kgF = 95 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 95 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 95 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 11 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 4.5 mL = 5 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一个以 8 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。15 kg 的碎片以 50 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 8 m/sm₁ = 15 kgv′₁ = 50 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 8 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 200 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 400 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 50 mmp₁ = 400 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 410 g CO₂，温度为 90 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 410 gM = 44.01 g/molV = 30 LT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 150 kPa、10 L、25 °C 变化到 700 kPa 和 220 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 220 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 650 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。它吸收 2200 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 650 °CT_L = 15 °CQ_H = 2200 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 750 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 15 °C 的热源放热。两台热机的热效率相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 750 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 1 m 处的声级为 80 dB。忽略吸收和反射，求 4 m 处的声级 β₂。

β₁ = 80 dBr₁ = 1 mr₂ = 4 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光垂直照射在每毫米 200 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ₂。

N = 200 mm⁻¹λ = 633 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.44 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·2100) = 1.44 m/s²

答案

a = 1.44 m/s²

2.运动学

答案: t = 4.62 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.62 s

答案

t = 4.62 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.429 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 110·sin 35° = 329.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 90.11 − 32.93

a = 57.18/40 = 1.429 m/s²

答案

a = 1.429 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 20.36 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 20.6)/14 = 5.314 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(5.314 + 1.472) = 20.36 N

答案

T = 20.36 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 31.49 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·95/sin 110°) = 31.49 m/s

答案

v₀ = 31.49 m/s

6.抛体运动

答案: t = 3.29 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 30° = 9.526 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 30° = 5.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 5.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.5 + √(30.25 + 686.7))/9.81 = 3.29 s

答案

t = 3.29 s

7.功和能

答案: d = 28.32 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.5·9.81) = 28.32 m

答案

d = 28.32 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 82.87 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(4.5 − 0.2·5) = 171.7 J

最大压缩量

½kx² = 171.7 → x = √(2·171.7/500) = 0.8287 m = 82.87 cm

答案

x = 82.87 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −149.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 19·8 = 152 kg·m/s

碰撞后的动量

152 = 15·50 + 4·v′₂

v′₂ = (152 − 750)/4 = −149.5 m/s

答案

v′₂ = −149.5 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 216 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(19 + 8) = 10.8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 10.8/0.05 = 216 N

答案

F_avg = 216 N

11.静水压力

答案: F = 183.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·5 = 183.9 kN

答案

F = 183.9 kN

12.静水压力

答案: F = 181 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·6 = 181 kN

答案

F = 181 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 177.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 6.75²)/1000 = −22.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−22.5) = 177.5 kPa

答案

p₂ = 177.5 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 338.7 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(200/50)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−31.88) − 29.43 = 338.7 kPa

答案

p₂ = 338.7 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 937.6 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 410/44.01 = 9.316 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

压强

P = nRT/V = 9.316·8.314·363.1/0.03 = 937.6 kPa

答案

P = 937.6 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 3.544 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 493.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/700)·(493.1/298.1) = 3.544 L

答案

V₂ = 3.544 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1513 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/923.1 = 68.79 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6879·2200 = 1513 kJ

答案

W_max = 1513 kJ

18.热机和制冷机

答案: T_m = 269.8 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

效率相等

由 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m 得 T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1023·288.1) = 543 K = 269.8 °C

答案

T_m = 269.8 °C

19.波、声与光学

答案: β₂ = 67.96 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (1/4)² = 0.0625

新的声级

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0.0625) = 67.96 dB

答案

β₂ = 67.96 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: θ₂ = 14.67 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·633 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.2532

θ = 14.67°

答案

θ₂ = 14.67°

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