大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 7 s，然后匀速行驶 11 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 7 st₂ = 11 sa₃ = −3.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 4.5 kg 和 3 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 36 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 32 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.35d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 4 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 1 kgh = 4 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 23 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 1.5 kgh = 23 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 16 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 7 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 7 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 170 kPa。水从水面以下 3.5 m 处直径 30 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 170 kPa (表压)h = 3.5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

490 g O₂在 250 kPa 和 5 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 490 gM = 32 g/molP = 250 kPaT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 600 kPa 和 170 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 600 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 325 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。它吸收 2800 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 325 °CT_L = 40 °CQ_H = 2800 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 450 °C 的热源吸收 60 kW 热量，并向 25 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 0 °C 的冷冻室排出热量，也向 25 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 450 °CT₀ = 25 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 60 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄发散透镜前 25 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = −15 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

一个衍射光栅每毫米有 100 条刻线。波长为 550 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 m_max？

N = 100 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3溶液

1.运动学

答案: s = 14.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5.5) = 14.2 m

答案

s = 14.2 m

2.运动学

答案: t = 24 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·7 = 21 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 21/3.5 = 6 s

总时间

t = 7 + 11 + 6 = 24 s

答案

t = 24 s

3.牛顿定律

答案: T = 35.32 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (4.5 − 3)·9.81/(4.5 + 3) = 1.962 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3·(9.81 + 1.962) = 35.32 N

答案

T = 35.32 N

4.牛顿定律

答案: T = 9.81 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 0)/4.5 = 6.54 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·6.54 + 0 = 9.81 N

答案

T = 9.81 N

5.抛体运动

答案: t = 5.19 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 45° = 25.46 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 45° = 25.46 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·25.46/9.81 = 5.19 s

答案

t = 5.19 s

6.抛体运动

答案: H = 90.02 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 32·sin 55° = 26.21 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 26.21²/(2·9.81) = 35.02 m

离地面的高度

H = 55 + 35.02 = 90.02 m

答案

H = 90.02 m

7.功和能

答案: v = 6.277 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.5736 − 0.35·0.8192)) = 6.277 m/s

答案

v = 6.277 m/s

8.功和能

答案: v = 6.264 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4 − 2) = 39.24 m²/s²

v = 6.264 m/s

答案

v = 6.264 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v = 320.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.23) = 2.124 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1.5)·2.124/0.01 = 320.8 m/s

答案

v = 320.8 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 42 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(5 + 16) = 2.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 2.1/0.05 = 42 N

答案

F_avg = 42 N

11.静水压力

答案: F = 202.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·7.5 = 202.3 kN

答案

F = 202.3 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·2.5 = 43.99 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 1.302/(1.75·2.5) = 2.048 m

答案

y_cp = 2.048 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 79.97 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/200)² = 0.5625·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·7000/(1000·(1 − 0.3164))) = 4.525 m/s

v₁ = 2.546 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·4.525 = 0.07997 m³/s = 79.97 L/s

答案

Q = 79.97 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 14.29 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(170000/1000 + 9.81·3.5)) = 20.22 m/s

流量

Q = A·v = 0.0007069·20.22 = 0.01429 m³/s = 14.29 L/s

答案

Q = 14.29 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 141.6 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 490/32 = 15.31 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

体积

V = nRT/P = 15.31·8.314·278.1/250 = 141.6 L

答案

V = 141.6 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 2.612 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 600·16.04/(8.314·443.1) = 2.612 kg/m³

答案

ρ = 2.612 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1334 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/598.1 = 47.65 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.4765·2800 = 1334 kJ

答案

W_max = 1334 kJ

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 385.3 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

热机的功

η = 1 − 298.1/723.1 = 0.5877

Ẇ = 0.5877·60 = 35.26 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 273.1/(298.1 − 273.1) = 10.93

Q̇_L = 10.93·35.26 = 385.3 kW

答案

Q̇_L = 385.3 kW

19.波、声与光学

答案: d_i = −9.375 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/25

d_i = −9.375 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −9.375 cm

20.波、声与光学

答案: m_max = 18

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/100 mm = 10 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 10 µm/0.55 µm = 18.18 → m_max = 18

答案

m_max = 18

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