大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 100 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 100 km/ht_r = 1.1 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

质量为 5 kg 和 3.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 3.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 115 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；7 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 6 kgF = 115 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 1000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 1 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgμ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgv_in = 15 m/sv_out = 16 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 29 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 220 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 29 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 220 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 70 kPa。水从水面以下 5 m 处直径 30 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 70 kPa (表压)h = 5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

120 g N₂在 750 kPa 和 35 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 120 gM = 28.01 g/molP = 750 kPaT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求N₂在 400 kPa 和 80 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 400 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 425 °C 的高温热源和 10 °C 的低温热源之间工作。它吸收 2800 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 425 °CT_L = 10 °CQ_H = 2800 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 10 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 21 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 10 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.01 W 的声功率。求 8 m 处的声强级 β。

P = 0.01 Wr = 8 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 15 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = −20 cm。一个物体位于透镜 1 前 25 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 5 cmf₂ = −20 cms = 15 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 89.91 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 27.78·1.1 = 30.56 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·6.5) = 59.35 m

合计

d = 30.56 + 59.35 = 89.91 m

答案

d = 89.91 m

2.运动学

答案: d = 35.65 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 960.4 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·960.4))/(2·4.905) = 2.696 s

深度

d = ½·9.81·2.696² = 35.65 m

答案

d = 35.65 m

3.牛顿定律

答案: T = 40.39 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (5 − 3.5)·9.81/(5 + 3.5) = 1.731 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3.5·(9.81 + 1.731) = 40.39 N

答案

T = 40.39 N

4.牛顿定律

答案: T = 61.92 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 38.26)/13 = 5.903 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(5.903 + 2.943) = 61.92 N

答案

T = 61.92 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 6.823 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 40° = 13.79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 40° = 11.57 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 11.57²/(2·9.81) = 6.823 m

答案

H = 6.823 m

6.抛体运动

答案: x = 77.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 45° = 16.97 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 45° = 16.97 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 16.97·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.97 + √(288 + 490.5))/9.81 = 4.574 s

水平距离

x = v_x·t = 16.97·4.574 = 77.63 m

答案

x = 77.63 m

7.功和能

答案: h = 6.524 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·1000·0.08² = 3.2 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 3.2/0.4905 = 6.524 m

答案

h = 6.524 m

8.功和能

答案: v = 1.534 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 9.81·3 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.2·39.24·3 = 23.54 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 5.886 → v = √(2·5.886/5) = 1.534 m/s

答案

v = 1.534 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.6154 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 3.5)/(3 + 3.5)·8 = −0.6154 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 3.5)·8 = 7.385 m/s

答案

v′₁ = −0.6154 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: J = 6.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(16 + 15) = 6.2 N·s

答案

J = 6.2 N·s

11.静水压力

答案: F = 82.77 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·2.25 = 82.77 kN

答案

F = 82.77 kN

12.静水压力

答案: F = 178.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·7.5 = 178.1 kN

答案

F = 178.1 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 240.2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.029/0.01767 = 1.641 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.029/0.004418 = 6.564 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 220 + ½·1000·(6.564² − 1.641²)/1000 = 220 + 20.2 = 240.2 kPa

答案

p₁ = 240.2 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 10.91 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(70000/1000 + 9.81·5)) = 15.43 m/s

流量

Q = A·v = 0.0007069·15.43 = 0.01091 m³/s = 10.91 L/s

答案

Q = 10.91 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 14.63 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 120/28.01 = 4.284 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

体积

V = nRT/P = 4.284·8.314·308.1/750 = 14.63 L

答案

V = 14.63 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 3.816 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

密度

ρ = 400·28.01/(8.314·353.1) = 3.816 kg/m³

答案

ρ = 3.816 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1664 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/698.1 = 59.44 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.5944·2800 = 1664 kJ

答案

W_max = 1664 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.6459 kW

绝对温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 275.1) = 15.48

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 10/15.48 = 0.6459 kW

答案

Ẇ_min = 0.6459 kW

19.波、声与光学

答案: β = 70.95 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 1.243 × 10⁻⁵ W/m²

难度

β = 10·log₁₀(1.243 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 70.95 dB

答案

β = 70.95 dB

20.波、声与光学

答案: d_i2 = −6.087 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/5 − 1/25 → d_i1 = 6.25 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 15 − 6.25 = 8.75 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/8.75 → d_i2 = −6.087 cm

答案

d_i2 = −6.087 cm

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