大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 36 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7 m/sθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 19 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 350 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 4°F_r = 350 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 6 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 6 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 600 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1100 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 4.5 kgL = 1.6 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 210 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 210 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 190 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 190 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

380 g He在 650 kPa 和 85 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 380 gM = 4.003 g/molP = 650 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 350 kPa、5 L、30 °C 变化到 800 kPa 和 110 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 700 °C 的热源吸热，向 10 °C 的环境放热。其实际热效率为 28%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 700 °CT_L = 10 °Cη = 28%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 650 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 15 °C 的热源放热。两台热机的热效率相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 650 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

观察者以 20 m/s 的速度朝频率为 400 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 450 nmd = 0.5 mmL = 3 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 1.818 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/5.5 = 1.818 s

答案

t = 1.818 s

2.运动学

答案: d = 15.12 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 617.4 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·617.4))/(2·4.905) = 1.756 s

深度

d = ½·9.81·1.756² = 15.12 m

答案

d = 15.12 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答案

a = 4.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 4.866 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.1·cos 25°) = 5.035 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·5.035) = 4.866 m

答案

d = 4.866 m

5.抛体运动

答案: t = 3.34 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11.47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16.38 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·16.38/9.81 = 3.34 s

答案

t = 3.34 s

6.抛体运动

答案: x = 63.46 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 40° = 14.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 40° = 12.21 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 12.21·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.21 + √(149.2 + 784.8))/9.81 = 4.36 s

水平距离

x = v_x·t = 14.55·4.36 = 63.46 m

答案

x = 63.46 m

7.功和能

答案: P = 15.82 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 4° = 1232 N

F = 1232 + 350 = 1582 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1582·10 = 15818 W = 15.82 kW

答案

P = 15.82 kW

8.功和能

答案: v = 3.132 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 58.86·2 = 117.7 J

μ·m₁g·d = 0.2·98.1·2 = 39.24 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 78.48 → v = √(2·78.48/16) = 3.132 m/s

答案

v = 3.132 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 35.29 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·6/1700 = 3.882 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·6² = 19800 J

K_after = ½·1700·3.882² = 12812 J

损失的比例

ΔK/K = 6988/19800 = 35.29 %

答案

ΔK/K = 35.29 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v = 622.2 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 10°) = 0.02431 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02431) = 0.6906 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.505·0.6906/0.005 = 622.2 m/s

答案

v = 622.2 m/s

11.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.595 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·4 = 120.9 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 1.333/(3.5·4) = 3.595 m

答案

y_cp = 3.595 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 201.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−8.125) = 201.9 kPa

答案

p₂ = 201.9 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 156.4 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 3²)/1000 = −4.219 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−4.219) − 29.43 = 156.4 kPa

答案

p₂ = 156.4 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 434.9 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 380/4.003 = 94.93 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体积

V = nRT/P = 94.93·8.314·358.1/650 = 434.9 L

答案

V = 434.9 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 2.765 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 383.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/800)·(383.1/303.1) = 2.765 L

答案

V₂ = 2.765 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 39.49 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 283.1/973.1 = 70.9 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 28/70.9 = 39.49 %

答案

η_II = 39.49 %

18.热机和制冷机

答案: T_m = 242.6 °C

绝对温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

效率相等

由 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m 得 T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(923.1·288.1) = 515.8 K = 242.6 °C

答案

T_m = 242.6 °C

19.波、声与光学

答案: f′ = 423.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 20)/(343 − 0)

f′ = 423.3 Hz

答案

f′ = 423.3 Hz

20.波、声与光学

答案: Δy = 2.7 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·3/(0.5 × 10⁻³) = 2.7 mm

答案

Δy = 2.7 mm

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