大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 9 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 10 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s 抛出，必须落在 60 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 32 m/sR = 60 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 20°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 20°μ = 0.1d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 8 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 95 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 95 Nθ = 35°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 36 m/s 水平运动的 17 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。14 kg 的碎片以 95 m/s 继续向前运动。求 3 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 17 kgu = 36 m/sm₁ = 14 kgv′₁ = 95 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 17 m/sv_out = 17 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水以 36 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 150 mm。窄段的压强为 180 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 36 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 180 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一根内径 25 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1.5 m，出口（通大气）低于水面 3.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 25 mmz_C = +1.5 mz₂ = −3.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 450 g O₂，温度为 35 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 450 gM = 32 g/molV = 30 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 200 kPa、20 L、10 °C 变化到 250 kPa 和 90 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 20 LT₁ = 10 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 325 °C 的热源吸收 1600 kJ 热量，放出 771 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 325 °CQ_H = 1600 kJQ_L = 771 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 30 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -20 °C，以 1.5 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 30 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 1.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

频率为 800 Hz、速度为 10 m/s 的声源与速度为 5 m/s 的观察者相互远离。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 800 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 30 cm 的凹面镜前 25 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 25 cmR = 30 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 30.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·8) = 30.86 m

答案

s = 30.86 m

2.运动学

答案: d = 10.59 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 514.5 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·514.5))/(2·4.905) = 1.469 s

深度

d = ½·9.81·1.469² = 10.59 m

答案

d = 10.59 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 75.74 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 44.14 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.47 N

系统的加速度

a = (98.1 − 44.14 − 11.47)/19 = 2.236 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9.81 − 2.236) = 75.74 N

答案

T = 75.74 N

5.抛体运动

答案: θ = 17.54 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·60/32² = 0.5748

相角

2θ = 35.09° → θ = 17.54°

答案

θ = 17.54°

另一个解为 90° − θ = 72.46°。

6.抛体运动

答案: x = 86.93 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 20° = 28.19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 20° = 10.26 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 10.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.26 + √(105.3 + 294.3))/9.81 = 3.084 s

水平距离

x = v_x·t = 28.19·3.084 = 86.93 m

答案

x = 86.93 m

7.功和能

答案: W_f = 29.5 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9397 = 18.44 N

F = μN = 0.1·18.44 = 1.844 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.844·16 = 29.5 J

答案

W_f = 29.5 J

8.功和能

答案: v = 5.541 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 45.01 N

μ·mg·cos θ = 19.29 N

功–能关系

½mv² = (95 − 64.3)·4 = 122.8 J

v = √(2·122.8/8) = 5.541 m/s

答案

v = 5.541 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −239.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 17·36 = 612 kg·m/s

碰撞后的动量

612 = 14·95 + 3·v′₂

v′₂ = (612 − 1330)/3 = −239.3 m/s

答案

v′₂ = −239.3 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: J = 10.2 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(17 + 17) = 10.2 N·s

答案

J = 10.2 N·s

11.静水压力

答案: F = 55.18 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.25·4.5 = 55.18 kN

答案

F = 55.18 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.41 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 3.906/(3.25·7.5) = 3.41 m

答案

y_cp = 3.41 m

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 181.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.036/0.03142 = 1.146 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.036/0.01767 = 2.037 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 180 + ½·1000·(2.037² − 1.146²)/1000 = 180 + 1.418 = 181.4 kPa

答案

p₁ = 181.4 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 4.068 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

流量

Q = A·v = 0.0004909·8.287 = 0.004068 m³/s = 4.068 L/s

答案

Q = 4.068 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 1201 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 450/32 = 14.06 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

压强

P = nRT/V = 14.06·8.314·308.1/0.03 = 1201 kPa

答案

P = 1201 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 20.52 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 283.1 K, T₂ = 363.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(200/250)·(363.1/283.1) = 20.52 L

答案

V₂ = 20.52 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 15.08 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 598.1·771/1600 = 288.2 K = 15.08 °C

答案

T_L = 15.08 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.2963 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(303.1 − 253.1) = 5.063

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1.5/5.063 = 0.2963 kW

答案

Ẇ_min = 0.2963 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 766 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 800·(343 − 5)/(343 + 10)

f′ = 766 Hz

答案

f′ = 766 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i = 37.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 15 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/25

d_i = 37.5 cm

光线图

镜前的实像

答案

d_i = 37.5 cm

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