大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 20 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 20 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 20° 的角度抛出，落在 15 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 20°R = 15 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 10 m/sθ = 40°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 110 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 110 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 190 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 190 Nθ = 20°μ = 0.15d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 27 m/s 水平运动的 13 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。5 kg 的碎片以 78 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 13 kgu = 27 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 78 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 15 m/s 向东行驶的 1300 kg 汽车与一辆以 10 m/s 向北行驶的 1200 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1300 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 10 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 10 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 50 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 10 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 50 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 6 m。截面 1 处压强为 230 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 230 kPav₁ = 2 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

260 g O₂在 350 kPa 和 100 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 260 gM = 32 g/molP = 350 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的He从 200 kPa、2 L、35 °C 变化到 450 kPa 和 210 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 35 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 225 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。它吸收 3000 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 225 °CT_L = 30 °CQ_H = 3000 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 950 °C 的热源吸收 100 kW 热量，并向 25 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -10 °C 的冷冻室排出热量，也向 25 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 950 °CT₀ = 25 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 100 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

观察者以 5 m/s 的速度远离频率为 500 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.46，包层 n₂ = 1.44。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.46n₂ = 1.44

NA =

3溶液

1.运动学

答案: d = 177.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·20/4.5 = 8.889 s

距离

d = v·t = 20·8.889 = 177.8 m

答案

d = 177.8 m

此时警车的速度为 2v = 40 m/s。

2.运动学

答案: t = 4.437 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.437 s

答案

t = 4.437 s

3.牛顿定律

答案: F = 40.92 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 31.53 + 9.394 = 40.92 N

答案

F = 40.92 N

4.牛顿定律

答案: a = 2.543 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0)/13.5 = 2.543 m/s²

答案

a = 2.543 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 15.13 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·15/sin 40°) = 15.13 m/s

答案

v₀ = 15.13 m/s

6.抛体运动

答案: x = 29.99 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 40° = 7.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 40° = 6.428 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 6.428·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.428 + √(41.32 + 981))/9.81 = 3.915 s

水平距离

x = v_x·t = 7.66·3.915 = 29.99 m

答案

x = 29.99 m

7.功和能

答案: d = 67.98 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.7·9.81) = 67.98 m

答案

d = 67.98 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: v = 8.165 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 67.1 N

μ·mg·cos θ = 27.66 N

功–能关系

½mv² = (190 − 94.76)·7 = 666.7 J

v = √(2·666.7/20) = 8.165 m/s

答案

v = 8.165 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −4.875 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 13·27 = 351 kg·m/s

碰撞后的动量

351 = 5·78 + 8·v′₂

v′₂ = (351 − 390)/8 = −4.875 m/s

答案

v′₂ = −4.875 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v′ = 9.159 m/s

动量分量

p_x = 1300·15 = 19500 kg·m/s

p_y = 1200·10 = 12000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 22897/2500 = 9.159 m/s

答案

v′ = 9.159 m/s

11.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·1 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN

12.静水压力

答案: F = 294.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN

答案

F = 294.3 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 50.76 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.01/0.03142 = 0.3183 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 50 + ½·1000·(1.273² − 0.3183²)/1000 = 50 + 0.7599 = 50.76 kPa

答案

p₁ = 50.76 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 141.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/50)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 230 + (−30) − 58.86 = 141.1 kPa

答案

p₂ = 141.1 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 72.02 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 260/32 = 8.125 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体积

V = nRT/P = 8.125·8.314·373.1/350 = 72.02 L

答案

V = 72.02 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.394 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 483.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/450)·(483.1/308.1) = 1.394 L

答案

V₂ = 1.394 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1174 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/498.1 = 39.14 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.3914·3000 = 1174 kJ

答案

W_max = 1174 kJ

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 568.6 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 950 + 273.15 = 1223 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

热机的功

η = 1 − 298.1/1223 = 0.7562

Ẇ = 0.7562·100 = 75.62 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 263.1/(298.1 − 263.1) = 7.519

Q̇_L = 7.519·75.62 = 568.6 kW

答案

Q̇_L = 568.6 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 492.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 5)/(343 + 0)

f′ = 492.7 Hz

答案

f′ = 492.7 Hz

20.波、声与光学

答案: NA = 0.2408

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.44/1.46 = 0.9863 → θc = 80.51°

数值孔径

NA = √(1.46² − 1.44²) = 0.2408

答案

NA = 0.2408

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