大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 9 s，最后以 5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 9 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9 m/sθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 40°μ = 0.4d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2.5 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.3 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 1 kgL = 1.3 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 120 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 120 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 50 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 140 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 140 kPav₁ = 1 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

240 g CO₂在 250 kPa 和 15 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 240 gM = 44.01 g/molP = 250 kPaT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求Ar在 850 kPa 和 50 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 850 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 300 °C 的热源吸热，向 30 °C 的环境放热。其实际热效率为 24%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 300 °CT_L = 30 °Cη = 24%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 600 °C 的热源吸收 10 kW 热量，并向 20 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -15 °C 的冷冻室排出热量，也向 20 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 600 °CT₀ = 20 °CT_L = -15 °CQ̇_H = 10 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

频率为 400 Hz、速度为 34 m/s 的声源与速度为 10 m/s 的观察者相向运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求从中央亮条纹到第 5 条亮条纹的距离 y₅。

λ = 650 nmd = 0.5 mmL = 2.5 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 46.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·3) = 46.3 m

答案

s = 46.3 m

2.运动学

答案: s = 275.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·9² = 81 m

s₂ = 18·9 = 162 m

s₃ = 18²/(2·5) = 32.4 m

总距离

s = 81 + 162 + 32.4 = 275.4 m

答案

s = 275.4 m

3.牛顿定律

答案: F = 44.21 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 28.13 + 16.07 = 44.21 N

答案

F = 44.21 N

4.牛顿定律

答案: d = 9.469 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.1·cos 20°) = 4.277 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9²/(2·4.277) = 9.469 m

答案

d = 9.469 m

5.抛体运动

答案: x = 25.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 65° = 7.607 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 65° = 16.31 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·16.31/9.81 = 3.326 s

水平距离

x = v_x·t = 7.607·3.326 = 25.3 m

答案

x = 25.3 m

6.抛体运动

答案: t = 4.889 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 45° = 12.73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 45° = 12.73 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 12.73·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.73 + √(162 + 1079))/9.81 = 4.889 s

答案

t = 4.889 s

7.功和能

答案: W_f = 18.04 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.766 = 3.757 N

F = μN = 0.4·3.757 = 1.503 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.503·12 = 18.04 J

答案

W_f = 18.04 J

8.功和能

答案: x = 23.58 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2.5 − 0.15·2.5) = 41.69 J

最大压缩量

½kx² = 41.69 → x = √(2·41.69/1500) = 0.2358 m = 23.58 cm

答案

x = 23.58 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3.333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 5)/(2.5 + 5)·5 = −1.667 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 5)·5 = 3.333 m/s

答案

v′₂ = 3.333 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 246.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 40°) = 0.3041 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.3041) = 2.443 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.01·2.443/0.01 = 246.7 m/s

答案

v = 246.7 m/s

11.静水压力

答案: F = 103 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答案

F = 103 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.789 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.75·1.5 = 71.64 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.75 + 0.2813/(4.75·1.5) = 4.789 m

答案

y_cp = 4.789 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 97.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/25)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 6.75²)/1000 = −22.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−22.5) = 97.5 kPa

答案

p₂ = 97.5 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 90.19 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−40) − 9.81 = 90.19 kPa

答案

p₂ = 90.19 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 52.26 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 240/44.01 = 5.453 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

体积

V = nRT/P = 5.453·8.314·288.1/250 = 52.26 L

答案

V = 52.26 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 12.64 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 850·39.95/(8.314·323.1) = 12.64 kg/m³

答案

ρ = 12.64 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 50.95 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 303.1/573.1 = 47.11 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 24/47.11 = 50.95 %

答案

η_II = 50.95 %

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 48.99 kW

绝对温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -15 + 273.15 = 258.1 K

热机的功

η = 1 − 293.1/873.1 = 0.6643

Ẇ = 0.6643·10 = 6.643 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 258.1/(293.1 − 258.1) = 7.376

Q̇_L = 7.376·6.643 = 48.99 kW

答案

Q̇_L = 48.99 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 457 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 10)/(343 − 34)

f′ = 457 Hz

答案

f′ = 457 Hz

20.波、声与光学

答案: y₅ = 16.25 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·2.5/(0.5 × 10⁻³) = 3.25 mm

第 5 条条纹

y₅ = 5·3.25 = 16.25 mm

答案

y₅ = 16.25 mm

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