大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 8.5 kg 和 1.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 30° 的角度抛出，落在 140 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 30°R = 140 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 15°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 0.5 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 4 mL = 1 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 4.5 kgL = 1.6 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 60 mm。入口处的压强比喉部高 33 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 33 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 100 kPa。水从水面以下 2.5 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 100 kPa (表压)h = 2.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

130 g Ar在 250 kPa 和 65 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 130 gM = 39.95 g/molP = 250 kPaT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 150 kPa、5 L、30 °C 变化到 600 kPa 和 160 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 160 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 800 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。它吸收 3900 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 800 °CT_L = 5 °CQ_H = 3900 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -10 °C，以 3 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 28 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 3 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

观察者以 15 m/s 的速度远离频率为 500 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 30 cm 的凹面镜前 4 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 4 cmR = 30 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.349 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/3.5 = 6.349 s

答案

t = 6.349 s

2.运动学

答案: t = 1.641 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.641 s

答案

t = 1.641 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.867 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8.5 − 1.5)·9.81/(8.5 + 1.5) = 6.867 m/s²

答案

a = 6.867 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 21.69 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 13.73)/9.5 = 1.136 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·1.136 + 13.73 = 21.69 N

答案

T = 21.69 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 39.82 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·140/sin 60°) = 39.82 m/s

答案

v₀ = 39.82 m/s

6.抛体运动

答案: t = 2.158 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 15° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 15° = 5.953 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 5.953·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.953 + √(35.44 + 196.2))/9.81 = 2.158 s

答案

t = 2.158 s

7.功和能

答案: T = 3.924 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 60°) = 4.905 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·4.905/0.5 = 3.924 N

答案

T = 3.924 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 3.924 N。

8.功和能

答案: x = 17.16 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(4 − 0.25·1) = 36.79 J

最大压缩量

½kx² = 36.79 → x = √(2·36.79/2500) = 0.1716 m = 17.16 cm

答案

x = 17.16 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 223.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2)·2.215/0.02 = 223.7 m/s

答案

v = 223.7 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 414.2 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 20°) = 0.09649 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.09649) = 1.376 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.515·1.376/0.015 = 414.2 m/s

答案

v = 414.2 m/s

11.静水压力

答案: F = 309 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·9 = 309 kN

答案

F = 309 kN

12.静水压力

答案: F = 181.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·6 = 181.3 kN

答案

F = 181.3 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 24.62 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(60/100)² = 0.36·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·33000/(1000·(1 − 0.1296))) = 8.708 m/s

v₁ = 3.135 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.002827·8.708 = 0.02462 m³/s = 24.62 L/s

答案

Q = 24.62 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 19.83 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(100000/1000 + 9.81·2.5)) = 15.78 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·15.78 = 0.01983 m³/s = 19.83 L/s

答案

Q = 19.83 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 36.59 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 130/39.95 = 3.254 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

体积

V = nRT/P = 3.254·8.314·338.1/250 = 36.59 L

答案

V = 36.59 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.786 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 433.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/600)·(433.1/303.1) = 1.786 L

答案

V₂ = 1.786 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2889 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/1073 = 74.08 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.7408·3900 = 2889 kJ

答案

W_max = 2889 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.4332 kW

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(301.1 − 263.1) = 6.925

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3/6.925 = 0.4332 kW

答案

Ẇ_min = 0.4332 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 478.1 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 15)/(343 + 0)

f′ = 478.1 Hz

答案

f′ = 478.1 Hz

20.波、声与光学

答案: m = 1.364

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 15 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/4

d_i = −5.455 cm

放大率

m = −(−5.455)/4 = 1.364

答案

m = 1.364

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