大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
a = 1.5 m/s²s = 1000 m

一架飞机从静止开始，以 1.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1000 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 1.5 m/s²s = 1000 m
v = m/s
2.运动学困难
v₀ = 16 m/s30 m

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 16 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 20°a = ?m = 15 kg

一个 15 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1.5 kg7.5 kgθ = 30°

倾角为 30° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。 物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 1.5 kgm2 = 7.5 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 28 m/sθ = ?R = 50 m

一个球从水平地面以 28 m/s 抛出，必须落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 28 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
h = 25 mv0​ = 10 m/s55°射程

一个球 从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 10 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.功和能中等
45°d = 3 mμ = 0.15

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 3 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.15d = 3 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
h = 5.2 mR = 2 mv = ?

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 5.2 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 5.2 mR = 2 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
1.5 kg8 m/s2 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 1.5 kgm2 = 2 kgv1 = 8 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.动量与碰撞困难
1200 kg13 m/s1200 kg25 m/sθ = ?

在一个十字路口，一辆以 13 m/s 向东行驶的 1200 kg 汽车与一辆以 25 m/s 向北行驶的 1200 kg 汽车相撞。两车卡在一起。 求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m1 = 1200 kgv1 = 13 m/s (E)m2 = 1200 kgv2 = 25 m/s (N)
θ = °
11.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 2 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 75 mm, p1​ = 170 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 170 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 170 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 150 mm, p1​ = 170 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 170 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 170 kPav1 = 3 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
170 g ArV = 50 LT = 35 °CP = ?

容积为 50 L 的容器中装有 170 g Ar，温度为 35 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 170 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的O₂从 100 kPa、10 L、40 °C 变化到 550 kPa 和 250 °C。求新的体积 V2。

P1 = 100 kPaV1 = 10 LT1 = 40 °CP2 = 550 kPaT2 = 250 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 625 °CTL​ = ?EQH​ = 4400 kJQL​ = 1436 kJW

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 625 °C 的热源吸收 4400 kJ 热量，放出 1436 kJ。求冷源的温度 TL，以 °C 表示。

TH = 625 °CQH = 4400 kJQL = 1436 kJ
TL = °C
18.热机和制冷机困难
TH​ = 850 °CTL​ = 30 °CEQH​ = 3800 kJQL​ = 1862 kJW = 1938 kJ

一台热机每个循环从 850 °C 的热源吸收 3800 kJ 热量，产生 1938 kJ 的功，其余热量排向 30 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 Sgen。

TH = 850 °CTL = 30 °CQH = 3800 kJW = 1938 kJ
Sgen = kJ/K
19.波、声与光学中等
θc = ?90°乙醇, n1​ = 1.36空气, n2​ = 1.00

光在乙醇（n = 1.36）中向与空气（n = 1.00）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。

n1 = 1.36n2 = 1.00
θc = °
20.波、声与光学困难
f1​ = 5 cmf2​ = 8 cm20 cm10 cm

两个薄透镜共轴，相距 10 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = 8 cm。一个物体位于透镜 1 前 20 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 5 cmf2 = 8 cms = 10 cmdo = 20 cm
di2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 54.77 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·1.5·1000) = 54.77 m/s

答案

v = 54.77 m/s
(197.2 km/h)
2.运动学

答案: t = 4.593 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 16·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 16·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.593 s

答案

t = 4.593 s
3.牛顿定律

答案: a = 1.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答案

a = 1.051 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 7.216 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N
m₁·g·sin θ = 7.357 N
μ·m₁·g·cos θ = 1.274 N

系统的加速度

a = (73.58 − 7.357 − 1.274)/9 = 7.216 m/s²

答案

a = 7.216 m/s²
5.抛体运动

答案: θ = 19.36 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/28² = 0.6256

相角

2θ = 38.73° → θ = 19.36°

答案

θ = 19.36°

另一个解为 90° − θ = 70.64°。

6.抛体运动

答案: t = 3.242 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 8.192·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (8.192 + √(67.1 + 490.5))/9.81 = 3.242 s

答案

t = 3.242 s
7.功和能

答案: v = 5.948 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·3·(0.7071 − 0.15·0.7071)) = 5.948 m/s

答案

v = 5.948 m/s
8.功和能

答案: v = 4.852 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.2 − 4) = 23.54 m²/s²
v = 4.852 m/s

答案

v = 4.852 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′1 = −1.143 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (1.5 − 2)/(1.5 + 2)·8 = −1.143 m/s
v′2 = 2·1.5/(1.5 + 2)·8 = 6.857 m/s

答案

v′1 = −1.143 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: θ = 62.53 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

px = 1200·13 = 15600 kg·m/s
py = 1200·25 = 30000 kg·m/s

方向

tan θ = py/px = 1.923 → θ = 62.53°

答案

θ = 62.53°
11.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
闸门d = 0.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN
12.静水压力

答案: ycp = 1.4 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·3 = 36.79 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.25 + 0.5625/(1.25·3) = 1.4 m

答案

ycp = 1.4 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 80 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 170 + (−90) = 80 kPa

答案

p2 = 80 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 132.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/100)² = 6.75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 170 + (−18.28) − 19.62 = 132.1 kPa

答案

p2 = 132.1 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 218 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 170/39.95 = 4.255 mol
T = 35 + 273.15 = 308.1 K

压强

P = nRT/V = 4.255·8.314·308.1/0.05 = 218 kPa

答案

P = 218 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 3.037 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 313.1 K, T2 = 523.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(100/550)·(523.1/313.1) = 3.037 L

答案

V2 = 3.037 L
17.热机和制冷机

答案: TL = 19.97 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

热源的热力学温度

TH = 625 + 273.15 = 898.1 K

可逆循环的热量比

TL = TH·QL/QH = 898.1·1436/4400 = 293.1 K = 19.97 °C

答案

TL = 19.97 °C
18.热机和制冷机

答案: Sgen = 2.759 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 QH/TH，低温热源得到 QL/TL。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

QL = QH − W = 3800 − 1938 = 1862 kJ

绝对温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
TL = 30 + 273.15 = 303.1 K

热源的熵变

ΔSH = −3800/1123 = −3.383 kJ/K
ΔSL = 1862/303.1 = 6.142 kJ/K
Sgen = 6.142 − 3.383 = 2.759 kJ/K

答案

Sgen = 2.759 kJ/K

Sgen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: θc = 47.33 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.36 = 0.7353

临界角

θc = arcsin(0.7353) = 47.33°

答案

θc = 47.33°
20.波、声与光学

答案: di2 = −5.714 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/5 − 1/20 → di1 = 6.667 cm

透镜 2 的物

do2 = 10 − 6.667 = 3.333 cm

最终的像

1/di2 = 1/8 − 1/3.333 → di2 = −5.714 cm

答案

di2 = −5.714 cm

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