大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 20 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 11 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 20 mv_0B = 11 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5 m/sθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s 抛出，必须落在 55 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 40 m/sR = 55 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 70 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 70 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 15 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 115 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 15 kgF = 115 Nθ = 20°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4.5 kgL = 1.2 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 20 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 5.5 m，流量系数为 0.62。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 20 mmh = 5.5 mC_d = 0.62g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 100 mm，喉部 60 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 100 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 100 mmC_d = 0.99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

350 g CH₄在 100 kPa 和 20 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 350 gM = 16.04 g/molP = 100 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 250 kPa、5 L、15 °C 变化到 350 kPa 和 120 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 250 kPaV₁ = 5 LT₁ = 15 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 8.5 kW 的热量使冷库保持在 -18 °C，并向 25 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -18 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 8.5 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 800 °C 的热源吸收 2600 kJ 热量，产生 1326 kJ 的功，其余热量排向 25 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 800 °CT_L = 25 °CQ_H = 2600 kJW = 1326 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

观察者以 20 m/s 的速度远离频率为 600 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求第 2 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₂。

λ = 450 nma = 0.12 mmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 28.13 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·4) = 28.13 m

答案

s = 28.13 m

2.运动学

答案: t = 1.818 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

20 − ½g·t² = 11·t − ½g·t² → t = 20/11 = 1.818 s

答案

t = 1.818 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.856 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答案

a = 4.856 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.835 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.3·cos 25°) = 6.813 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·6.813) = 1.835 m

答案

d = 1.835 m

5.抛体运动

答案: θ = 9.854 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·55/40² = 0.3372

相角

2θ = 19.71° → θ = 9.854°

答案

θ = 9.854°

另一个解为 90° − θ = 80.15°。

6.抛体运动

答案: t = 2.405 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9.72 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 9.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.72 + √(94.48 + 98.1))/9.81 = 2.405 s

答案

t = 2.405 s

7.功和能

答案: d = 32.12 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.6·9.81) = 32.12 m

答案

d = 32.12 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: v = 5.412 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 50.33 N

μ·mg·cos θ = 20.74 N

功–能关系

½mv² = (115 − 71.07)·5 = 219.7 J

v = √(2·219.7/15) = 5.412 m/s

答案

v = 5.412 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 5)/(3 + 5)·6 = −1.5 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 5)·6 = 4.5 m/s

答案

v′₁ = −1.5 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: v = 930.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 35°) = 0.217 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.217) = 2.063 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.51·2.063/0.01 = 930.6 m/s

答案

v = 930.6 m/s

11.静水压力

答案: F = 159.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·5 = 159.4 kN

答案

F = 159.4 kN

12.静水压力

答案: F = 81.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·2.5 = 81.7 kN

答案

F = 81.7 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 2.023 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·5.5) = 10.39 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.62·0.0003142·10.39 = 0.002023 m³/s = 2.023 L/s

答案

Q = 2.023 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 14.92 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.1 = 12361 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 60/100 = 0.6

v₂ = √(2·12361/(1000·(1 − 0.1296))) = 5.329 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.99·0.002827·5.329 = 0.01492 m³/s = 14.92 L/s

答案

Q = 14.92 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 531.8 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 350/16.04 = 21.82 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

体积

V = nRT/P = 21.82·8.314·293.1/100 = 531.8 L

答案

V = 531.8 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 4.873 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 393.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(250/350)·(393.1/288.1) = 4.873 L

答案

V₂ = 4.873 L

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 9.932 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 8.5·298.1/255.1 = 9.932 kW

答案

Q̇_H = 9.932 kW

输入功率：Ẇ = 1.432 kW。

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 1.85 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 2600 − 1326 = 1274 kJ

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −2600/1073 = −2.423 kJ/K

ΔS_L = 1274/298.1 = 4.273 kJ/K

S_gen = 4.273 − 2.423 = 1.85 kJ/K

答案

S_gen = 1.85 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f′ = 565 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 565 Hz

答案

f′ = 565 Hz

20.波、声与光学

答案: θ₂ = 0.4297 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.0075

θ = 0.4297°

答案

θ₂ = 0.4297°

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