大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 5 m/s²汽车31 m/s

一辆以恒定的 31 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。 警车在距其出发点多远处追上？求 d。

vcar = 31 m/sapolice = 5 m/s²v0,police = 0
d = m
2.运动学困难
t (s)v (m/s)7 s

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 7 s，然后匀速行驶 21 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。 求总行驶时间 t。

a1 = 2.5 m/s²t1 = 7 st2 = 21 sa3 = −3 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 30°a = ?m = 12 kg

一个 12 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 10 kg5.5 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 10 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = ?15°R = 110 m

一个球从水平地面以与水平方向成 15° 的角度抛出，落在 110 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v0。

θ = 15°R = 110 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.抛体运动困难
h = 5 mv0​ = 25 m/s20°射程

一个球 从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 25 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.功和能中等
45°d = 5 mμ = 0.4

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 5 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 0.5 kgθ = 45°μ = 0.4d = 5 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
k = 3000 N/m25°μ = 0.253 kg

在 25° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 12 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 3000 N/mx = 12 cmθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
d = m
9.动量与碰撞中等
3 kg4 m/s2 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。

m1 = 3 kgm2 = 2 kgv1 = 4 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
13 m/s9 m/s

一个 0.5 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgvin = 13 m/svout = 9 m/sΔt = 50 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 3 mH = 2.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 2.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 75 mm, p1​ = 140 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 140 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 140 kPav1 = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 200 mm, p1​ = 200 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 9 m

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 75 mm，同时升高 9 m。截面 1 处压强为 200 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 200 kPav1 = 1.5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
340 g N₂V = 30 LT = 5 °CP = ?

容积为 30 L 的容器中装有 340 g N₂，温度为 5 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 340 gM = 28.01 g/molV = 30 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
CH₄, M = 16.04 g/molP = 700 kPaT = 20 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CH₄在 700 kPa 和 20 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 700 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 525 °CTL​ = 40 °CEQH​QL​W

一台热机在 525 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。

TH = 525 °CTL = 40 °C
ηmax = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 550 °CTL​ = 25 °CEQH​ = 2500 kJQL​ = 1700 kJW = 800 kJ

一台热机每个循环从 550 °C 的热源吸收 2500 kJ 热量，产生 800 kJ 的功，其余热量排向 25 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 Sgen。

TH = 550 °CTL = 25 °CQH = 2500 kJW = 800 kJ
Sgen = kJ/K
19.波、声与光学中等
FF2 cmdo​ = 20 cmf = 5 cm

一个高 2 cm 的物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 20 cm 处。求像高 hi（倒立的像为负）。

ho = 2 cmdo = 20 cmf = 5 cm
hi = cm
20.波、声与光学困难
λ = 405 nmθ2​ = ?

波长为 405 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ2。

N = 300 mm⁻¹λ = 405 nmm = 2
θ2 = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 384.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/5 = 12.4 s

距离

d = v·t = 31·12.4 = 384.4 m

答案

d = 384.4 m

此时警车的速度为 2v = 62 m/s。

2.运动学

答案: t = 33.83 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 2.5·7 = 17.5 m/s

制动时间

t3 = v/a3 = 17.5/3 = 5.833 s

总时间

t = 7 + 21 + 5.833 = 33.83 s

答案

t = 33.83 s
3.牛顿定律

答案: a = 2.781 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答案

a = 2.781 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 38.29 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 9.81)/15.5 = 2.848 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 10·2.848 + 9.81 = 38.29 N

答案

T = 38.29 N
5.抛体运动

答案: v0 = 46.46 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·110/sin 30°) = 46.46 m/s

答案

v0 = 46.46 m/s
6.抛体运动

答案: t = 2.205 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 25·cos 20° = 23.49 m/s
vy = v0·sin θ = 25·sin 20° = 8.551 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 8.551·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (8.551 + √(73.11 + 98.1))/9.81 = 2.205 s

答案

t = 2.205 s
7.功和能

答案: Wf = 6.937 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.7071 = 3.468 N
F = μN = 0.4·3.468 = 1.387 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 1.387·5 = 6.937 J

答案

Wf = 6.937 J
8.功和能

答案: d = 1.131 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 12 cm = 0.12 m
½kx² = ½·3000·0.12² = 21.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 21.6/(29.43·(0.4226 + 0.25·0.9063)) = 1.131 m

答案

d = 1.131 m
9.动量与碰撞

答案: v′2 = 4.8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (3 − 2)/(3 + 2)·4 = 0.8 m/s
v′2 = 2·3/(3 + 2)·4 = 4.8 m/s

答案

v′2 = 4.8 m/s
10.动量与碰撞

答案: J = 11 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(9 + 13) = 11 N·s

答案

J = 11 N·s
11.静水压力

答案: F = 156.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
闸门d = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·3.75 = 156.3 kN

答案

F = 156.3 kN
12.静水压力

答案: ycp = 2.481 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
闸门d = 1 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.25·5 = 113.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 2.604/(2.25·5) = 2.481 m

答案

ycp = 2.481 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 124.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(75/50)² = 6.188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 140 + (−15.36) = 124.6 kPa

答案

p2 = 124.6 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 55.95 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(200/75)² = 10.67 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 10.67²)/1000 = −55.76 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 200 + (−55.76) − 88.29 = 55.95 kPa

答案

p2 = 55.95 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 935.7 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 340/28.01 = 12.14 mol
T = 5 + 273.15 = 278.1 K

压强

P = nRT/V = 12.14·8.314·278.1/0.03 = 935.7 kPa

答案

P = 935.7 kPa
16.理想气体定律

答案: ρ = 4.607 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 700·16.04/(8.314·293.1) = 4.607 kg/m³

答案

ρ = 4.607 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: ηmax = 60.77 %

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 525 + 273.15 = 798.1 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 313.1/798.1 = 60.77 %

答案

ηmax = 60.77 %
18.热机和制冷机

答案: Sgen = 2.665 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 QH/TH，低温热源得到 QL/TL。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

QL = QH − W = 2500 − 800 = 1700 kJ

绝对温度

TH = 550 + 273.15 = 823.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

热源的熵变

ΔSH = −2500/823.1 = −3.037 kJ/K
ΔSL = 1700/298.1 = 5.702 kJ/K
Sgen = 5.702 − 3.037 = 2.665 kJ/K

答案

Sgen = 2.665 kJ/K

Sgen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: hi = −0.6667 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/5 − 1/20
di = 6.667 cm
FF20 cmf = 5 cm

放大率与像高

m = −6.667/20 = −0.3333
hi = −0.3333·2 = −0.6667 cm

答案

hi = −0.6667 cm
20.波、声与光学

答案: θ2 = 14.06 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·405 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.243
θ = 14.06°

答案

θ2 = 14.06°

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