大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 54 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 54 km/ht_r = 1 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 100 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 10 kgF = 100 Nθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s 抛出，必须落在 40 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 32 m/sR = 40 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 11 m/sθ = 50°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 50 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 50 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 10 m/sv_out = 8 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 250 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 250 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一根内径 32 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 3 m，出口（通大气）低于水面 4.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 32 mmz_C = +3 mz₂ = −4.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 100 g O₂，温度为 50 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 100 gM = 32 g/molV = 5 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 150 kPa 和 180 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 150 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 600 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 600 °CT_L = 5 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 7 °C 的热源吸热，向 35 °C 的供暖系统提供 14.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 50%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 35 °CT_L = 7 °Cη_II = 50%Q̇_H = 14.5 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

光在火石玻璃（n = 1.62）中向与乙醇（n = 1.36）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.62n₂ = 1.36

θ_c = °

20.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 5 m/s 的速度靠近的汽车发射 25 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 29.06 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 15·1 = 15 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·8) = 14.06 m

合计

d = 15 + 14.06 = 29.06 m

答案

d = 29.06 m

2.运动学

答案: d = 77.47 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1441))/(2·4.905) = 3.974 s

深度

d = ½·9.81·3.974² = 77.47 m

答案

d = 77.47 m

3.牛顿定律

答案: a = 7.698 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 98.1 − 100·sin 30° = 48.1 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 86.6 − 9.62

a = 76.98/10 = 7.698 m/s²

答案

a = 7.698 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 11.33 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 3.434)/5 = 2.256 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·2.256 + 3.434 = 11.33 N

答案

T = 11.33 N

5.抛体运动

答案: θ = 11.27 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·40/32² = 0.3832

相角

2θ = 22.53° → θ = 11.27°

答案

θ = 11.27°

另一个解为 90° − θ = 78.73°。

6.抛体运动

答案: t = 2.807 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 50° = 7.071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 50° = 8.426 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 8.426·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.426 + √(71.01 + 294.3))/9.81 = 2.807 s

答案

t = 2.807 s

7.功和能

答案: d = 14.05 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.7·9.81) = 14.05 m

答案

d = 14.05 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: v = 5.241 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.2·3) = 34.34 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.4) = 5.241 m/s

答案

v = 5.241 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 7.273 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 1.5)/(4 + 1.5)·5 = 2.273 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1.5)·5 = 7.273 m/s

答案

v′₂ = 7.273 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 9.9 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(8 + 10) = 9.9 N·s

答案

J = 9.9 N·s

11.静水压力

答案: F = 73.58 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答案

F = 73.58 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 5.636 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5.5 + 3.375/(5.5·4.5) = 5.636 m

答案

y_cp = 5.636 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 225.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/75)² = 7.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 7.111²)/1000 = −24.78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−24.78) = 225.2 kPa

答案

p₂ = 225.2 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 7.557 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

流量

Q = A·v = 0.0008042·9.396 = 0.007557 m³/s = 7.557 L/s

答案

Q = 7.557 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 1679 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 100/32 = 3.125 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

压强

P = nRT/V = 3.125·8.314·323.1/0.005 = 1679 kPa

答案

P = 1679 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.1594 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 150·4.003/(8.314·453.1) = 0.1594 kg/m³

答案

ρ = 0.1594 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 68.14 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/873.1 = 68.14 %

答案

η_max = 68.14 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 2.635 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 280.1) = 11.01

COP = 0.5·11.01 = 5.503

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 14.5/5.503 = 2.635 kW

答案

Ẇ = 2.635 kW

19.波、声与光学

答案: θ_c = 57.09 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.62 = 0.8395

临界角

θc = arcsin(0.8395) = 57.09°

答案

θ_c = 57.09°

20.波、声与光学

答案: f″ = 25740 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 25000·(343 + 5)/343 = 25364 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 5) = 25740 Hz

答案

f″ = 25740 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers