大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.4 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 18 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0.3d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 11 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 2.5 kgh = 11 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 15 m/sv_out = 8 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 110 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 110 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 100 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 100 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

100 g N₂在 800 kPa 和 60 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 100 gM = 28.01 g/molP = 800 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 150 kPa、5 L、35 °C 变化到 350 kPa 和 130 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 35 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 500 °C 的热源吸收 800 kJ 热量，放出 324 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 500 °CQ_H = 800 kJQ_L = 324 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -20 °C，以 0.5 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 28 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 0.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端固定的弦长 1.2 m；波在其上以 120 m/s 传播。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 120 m/sn = 1L = 1.2 m

f₁ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 656 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 1200 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 17.36 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

答案

s = 17.36 m

2.运动学

答案: d = 84.61 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.4 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1509 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1509))/(2·4.905) = 4.153 s

深度

d = ½·9.81·4.153² = 84.61 m

答案

d = 84.61 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.923 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答案

a = 1.923 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 20.14 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 0)/9.5 = 3.098 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·3.098 + 0 = 20.14 N

答案

T = 20.14 N

5.抛体运动

答案: t = 1.673 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8.208 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.208/9.81 = 1.673 s

答案

t = 1.673 s

6.抛体运动

答案: H = 49.69 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 18·sin 50° = 13.79 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 13.79²/(2·9.81) = 9.691 m

离地面的高度

H = 40 + 9.691 = 49.69 m

答案

H = 49.69 m

7.功和能

答案: W_f = 337.5 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.8192 = 80.36 N

F = μN = 0.3·80.36 = 24.11 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 24.11·14 = 337.5 J

答案

W_f = 337.5 J

8.功和能

答案: x = 57.41 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.2·4) = 82.4 J

最大压缩量

½kx² = 82.4 → x = √(2·82.4/500) = 0.5741 m = 57.41 cm

答案

x = 57.41 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 307.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.11) = 1.469 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 2.5)·1.469/0.012 = 307.5 m/s

答案

v = 307.5 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 138 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(8 + 15) = 3.45 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 3.45/0.025 = 138 N

答案

F_avg = 138 N

11.静水压力

答案: F = 49.66 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.25 = 49.66 kN

答案

F = 49.66 kN

12.静水压力

答案: F = 103.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4·3 = 103.6 kN

答案

F = 103.6 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 92.61 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(75/40)² = 6.152 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 6.152²)/1000 = −17.39 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−17.39) = 92.61 kPa

答案

p₂ = 92.61 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 20.91 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 100 + (−0.6076) − 78.48 = 20.91 kPa

答案

p₂ = 20.91 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 12.36 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 100/28.01 = 3.57 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

体积

V = nRT/P = 3.57·8.314·333.1/800 = 12.36 L

答案

V = 12.36 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 2.803 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 403.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/350)·(403.1/308.1) = 2.803 L

答案

V₂ = 2.803 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 39.98 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 773.1·324/800 = 313.1 K = 39.98 °C

答案

T_L = 39.98 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.09481 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(301.1 − 253.1) = 5.274

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0.5/5.274 = 0.09481 kW

答案

Ẇ_min = 0.09481 kW

19.波、声与光学

答案: f₁ = 50 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.2/1 = 2.4 m

频率

f = v/λ = 120/2.4 = 50 Hz

答案

f₁ = 50 Hz

20.波、声与光学

答案: θ₁ = 51.92 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.7872

θ = 51.92°

答案

θ₁ = 51.92°

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